Question

证明(x^2-1)/(x-1)，当x趋于1时的极限为2？

定义法证明

Answer 1

对任意 ε>0 ，
要使： |(x²-1)/(x-1)－2| < ε 成立，
此时只要： |(x²-1)/(x-1)－2|＝|x-1|<ε即可，
故存在 δ=ε
当 |x-1|<δ 时，
恒有：|(x²-1)/(x-1)－2| < ε成立
所以由极限定义，当x趋于1时，(x²-1)/(x-1)的极限为2

Answer 2

对任意小的正数ε，如果总存在， lim |(x²-1)/(x-1)－2|<ε 成立，则原命题得证
(x->1)
当x->1，x-1不等于0，分子分母同时约去（x-1）变成
lim |x+1－2|<ε lim |x-1|<ε 易知此等式成立，故原命题的证
(x->1) (x->1)

Answer 3

分母因式分解，和分子约去x-1,得到x+1，极限自然就是2.