Question

设F为三元可微函数,u=u(x,y,z)是由方程F(u^2-x^2,u^2-y^2,u^2-z^2)=0确定的隐函数，求证

(u对x的偏导)/x+(u对y的偏导)/y+(u对z的偏导)/z=1/u...在线等！我算出来左边的部分等于1/(2u)...跪了...

Answer 1

F对各分量的偏导依次记为F1, F2, F3.
方程对x求偏导得F1·(2u·∂u/∂x-2x)+F2·2u·∂u/∂x+F3·2u·∂u/∂x = 0.
即有x·F1 = u·(F1+F2+F3)·∂u/∂x, 也即(∂u/∂x)/x = F1/(u·(F1+F2+F3)).
同理可得(∂u/∂y)/y = F2/(u·(F1+F2+F3)), (∂u/∂z)/z = F3/(u·(F1+F2+F3)).
三式相加即得(∂u/∂x)/x+(∂u/∂y)/y+(∂u/∂z)/z = (F1+F2+F3)/(u·(F1+F2+F3)) = 1/u.

追问

但是如果继续计算∂F/∂u=2u(F1+F1+F3)，然后就有∂u/∂x=-(方程对x的偏导)/(方程对u的偏导)，解得∂u/∂x=(xF1)/[2u(F1+F2+F3)],然后算出来结果就是1/(2u)了...我哪里算错了吗？

追答

你这里的∂F/∂u意义不明, F本身是个三元函数, u并不是F的变量.
所谓方程对x求偏导是将F(u²-x²,u²-y²,u²-z²)视为x, y, z的函数来进行的.
写得更清楚点是F(u(x,y,z)²-x²,u(x,y,z)²-y²,u(x,y,z)²-z²).
求导时使用了链式法则.