Question

求解一道卷积的题

f(t)=t^2 t≥0
g(t)=u(t-1) t≥0

求f*g
不好意思 忘了说了 u(t-1) 是单位单位阶跃函数 u(t)=1 t≥0
=0 t＜0

Answer 1

默认没给定义的地方都取0.
由卷积的定义, f*g(s) = ∫{-∞,+∞} f(t)g(s-t)dt.
当t < 0, 有f(t) = 0, 于是上式可化为∫{0,+∞} t²g(s-t)dt.
而当s-t < 0, 有g(s-t) = 0.
于是当s ≥ 0, 上式可进一步化为∫{0,s} t²g(s-t)dt = ∫{0,s} ut²(s-t-1)dt = u(s-1)s³/3-us^4/4.
而当s < 0, 对任意t ≥ 0有s-t < 0, g(s-t) = 0, 故∫{0,+∞} t²g(s-t)dt = 0.
因此f*g(s) = us³(s-4)/12 当s ≥ 0.
f*g(s) = 0, 当s < 0.

追问

不好意思 忘了说了 u(t-1) 是单位单位阶跃函数 u(t)=1 t≥0
=0 t＜0

追答

g(t) = 0, 当t < 1, g(t) = 1, 当t ≥ 1.
从化到∫{0,+∞} t²g(s-t)dt开始.

当s-t < 1, 有g(s-t) = 0.

于是当s ≥ 1, 上式可化为∫{0,s-1} t²g(s-t)dt = ∫{0,s-1} t²dt = (s-1)³/3.
而当s < 1, 对任意t ≥ 0有s-t < 1, g(s-t) = 0, 故∫{0,+∞} t²g(s-t)dt = 0.
因此f*g(s) = (s-1)³/3 当s ≥ 1, f*g(s) = 0, 当s < 1.
也可以合并为f*g(s) = u(s-1)·(s-1)³/3.

Answer 2

郭敦顒回答：
当u(t-1) 为函数时，f*g= u(t-1) t²
当u(t-1)= ut－u时，f*g=ut³－ut²=ut²（t－1）。

Answer 3

求f*g？ 那就是直接乘起来啊
如果问题是f(g) 那就是 u^2(t-1)