Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n属于N*) (1)求数列{an}的通项公式 （2)若p,q,r是三个互不相等的正整数，且p,q,r成等差数列，试判断ap-1,aq-1,ar-1是否成等差数列？理由

Answer 1

解答：
a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）sn+2n（n€N*）
（1） 先求a1：
n=1，
∴ a1=2
（2）利用递推式：
∵ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=(n-1)Sn+2n ①
∴ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1) =(n-2)S(n-1)+2(n-1) ②
①-②：
nan =(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2n
即 n[S(n)-S(n-1)]=(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2
∴ S(n)=2S(n-1)+2
∴ S(n)+2=2[S(n-1)+2]
∴ {Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴ Sn+2=4*2^n=2^(n+1)
∴ Sn=-2+2^(n+1)
∴ n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^(n)=2^n
n=1同样满足上式
∴ an=2^n

Answer 2

(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，
∴Sn－1＋2≠0，
∴q＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列
∴an=S(n-1)＋2=4(1+2^n)/(2-1)+2=[2^(n+2)]+6
(2)2q=(p+r)
a(p)-1=[2^(p+2)]+5
a(q)-1=[2^(q+2)]+5
a(r)-1=[2^(r+2)]+5
=>(a(p)-1)(a(r)-1)=2^(p+r+4)+5(2^(p+2)+2^(r+2))+25
[a(q)-1]²=[2^(2q+4)]+10(2^(q+2))+25=2^(p+r+4)+10(2^(q+2))+25
∴(a(p)-1)(a(r)-1)≠[a(q)-1]²
所以，不存在这样的p,q,r