如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,角BCD=60度,AB=2AD,PD垂直平面ABCD,点M为PC的中点... 30

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,角BCD=60度,AB=2AD,PD垂直平面ABCD,点M为PC的中点。(1)求证:PA平行平面BMD;(2)求证... 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,角BCD=60度,AB=2AD,PD垂直平面ABCD,点M为PC的中点。
(1)求证:PA平行平面BMD;
(2)求证:AD垂直PB;
(3)若AB=PD=2,A到平面BMD的距离。
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hrcren
2013-03-18 · TA获得超过1.8万个赞
知道大有可为答主
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(1)设底面□ABCD对角线交点为N,连接MN

∵ABCD为平行四边形,∴N为对角线AC的中点

在△PAC中,M为PC中点,N为AC中点,∴PA∥MN

而MN∈平面BMD,∴PA∥平面BMD

(2)过中点N做EF∥AD交AB,CD于E,F

∵N为中点,∴E,F亦为对应边中点,且N为EF中点

又AB=2AD,∴有 DF=CD/2=AD=EF

∵EF∥AD,∴∠EFD=∠BCD=60°,则△DEF为等边三角形

又N为EF中点,∴DN为EF边上的高,即有EF⊥DN

∵EF∥AD,∴即有 AD⊥DN

又PD⊥底面ABCD,∴有 PD⊥AD

AD同时垂直于PD和DN,故AD⊥平面PBD

而PB∈平面PBD,∴AD⊥PB

(3)AB=PD=2,则AD=AE=1

∵PD⊥底面ABCD,∴△PAD,△PCD均为直角三角形

由勾股定理易求得 PA=√[2^2+1^2]=√5,PC=√[2^2+2^2]=2√2

又∠BCD=60°,则∠ABC=120°,由余弦定理可得

AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos∠ABC

=2^2+1^2-2*2*1*cos120°

=7,           ∴AC=√7

 后面可用海伦公式算出△PAC的面积,

再由面积公式反算出C到PA的高,设为CH,其数值约为2.5

A到平面BMD的距离即为两平行直线PA,MN之间的距离

因M,N均为中点,故其距离为CH的一半,即约为1.25左右

即A到平面BMD的距离约为1.25左右

(PS:第3问这种算法太复杂了,应该有更简便的算法,期待。。。)

yunquanheti4
2013-03-30
知道答主
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1
连接BD,CA交于G,连接MG
∵底面ABCD是平行四边形
∴G是CA中点
点M为PC的中点
∴MG||PA
∴PA||平面BMD
2.
∵∠BCD=60度,AB=2AD
∴BD⊥BC
∴AD⊥BD
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AD
∴AD⊥平面PDB
∴AD⊥PB
3.过D作DE⊥PA于E(图中没画出)
MG||PA
∴DE⊥MG
∵ AD⊥BD
BD⊥PD
∴BD⊥面PAD
∴BD⊥DE
∴DE⊥面BDM
A到平面BMD的距离=E到平面BMD的距离=DE
AB=PD=2
AD=1
PA=√5
DE=2*1/√5=2√5/5
A到平面BMD的距离=2√5/5
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匿名用户
2013-03-18
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1)取平行四边行ABCD的对角线交点为O,连接MO。
∵M为PC的中点,O为AC的中点
∴在△PAC中,MC∥PA(中位线定理)
又∵MO∈面BMD
∴PA∥面BMD(直线与平面平行判定定理)
2)假设AB=2x, 则AD=x.
根据余弦定理得,cos(角BAD)=(AB^2+AD^2-BD^2)/(2*AB*AD),求得,BD=3x
∴BD=√(3)x
∴△ADB是直角三角形,且AD⊥BD
∵PD⊥面ABCD
∴BD是PB在面ABCD的投影
∴由三垂线定理,得AD⊥PB
3)
第三个暂时没有想出啊,嘿嘿ie
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