Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，角BCD=60度，AB=2AD，PD垂直平面ABCD，点M为PC的中点...

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，角BCD=60度，AB=2AD，PD垂直平面ABCD，点M为PC的中点。
（1）求证：PA平行平面BMD；
（2）求证：AD垂直PB；
（3）若AB=PD=2，A到平面BMD的距离。

Answer 1

（1）设底面□ABCD对角线交点为N，连接MN

∵ABCD为平行四边形，∴N为对角线AC的中点

在△PAC中，M为PC中点，N为AC中点，∴PA∥MN

而MN∈平面BMD，∴PA∥平面BMD

（2）过中点N做EF∥AD交AB,CD于E,F

∵N为中点，∴E,F亦为对应边中点，且N为EF中点

又AB=2AD，∴有 DF=CD/2=AD=EF

∵EF∥AD，∴∠EFD=∠BCD=60°，则△DEF为等边三角形

又N为EF中点，∴DN为EF边上的高，即有EF⊥DN

∵EF∥AD，∴即有 AD⊥DN

又PD⊥底面ABCD，∴有 PD⊥AD

AD同时垂直于PD和DN，故AD⊥平面PBD

而PB∈平面PBD，∴AD⊥PB

（3）AB=PD=2，则AD=AE=1

∵PD⊥底面ABCD，∴△PAD,△PCD均为直角三角形

由勾股定理易求得 PA=√[2^2+1^2]=√5，PC=√[2^2+2^2]=2√2

又∠BCD=60°，则∠ABC=120°，由余弦定理可得

AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos∠ABC

=2^2+1^2-2*2*1*cos120°

=7，           ∴AC=√7

 后面可用海伦公式算出△PAC的面积，

再由面积公式反算出C到PA的高，设为CH，其数值约为2.5

A到平面BMD的距离即为两平行直线PA,MN之间的距离

因M,N均为中点，故其距离为CH的一半，即约为1.25左右

即A到平面BMD的距离约为1.25左右

（PS：第3问这种算法太复杂了，应该有更简便的算法，期待。。。）

Answer 2

1
连接BD，CA交于G，连接MG
∵底面ABCD是平行四边形
∴G是CA中点
点M为PC的中点
∴MG||PA
∴PA||平面BMD
2.
∵∠BCD=60度，AB=2AD
∴BD⊥BC
∴AD⊥BD
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AD
∴AD⊥平面PDB
∴AD⊥PB
3.过D作DE⊥PA于E（图中没画出）
MG||PA
∴DE⊥MG
∵ AD⊥BD
BD⊥PD
∴BD⊥面PAD
∴BD⊥DE
∴DE⊥面BDM
A到平面BMD的距离=E到平面BMD的距离=DE
AB=PD=2
AD=1
PA=√5
DE=2*1/√5=2√5/5
A到平面BMD的距离=2√5/5

Answer 3

1)取平行四边行ABCD的对角线交点为O，连接MO。
∵M为PC的中点，O为AC的中点
∴在△PAC中，MC∥PA（中位线定理）
又∵MO∈面BMD
∴PA∥面BMD（直线与平面平行判定定理）
2）假设AB=2x, 则AD=x.
根据余弦定理得，cos（角BAD）=（AB^2+AD^2-BD^2）/(2*AB*AD),求得，BD=3x
∴BD=√(3)x
∴△ADB是直角三角形，且AD⊥BD
∵PD⊥面ABCD
∴BD是PB在面ABCD的投影
∴由三垂线定理，得AD⊥PB
3）
第三个暂时没有想出啊，嘿嘿ie