如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,角BCD=60度,AB=2AD,PD垂直平面ABCD,点M为PC的中点... 30
(1)求证:PA平行平面BMD;
(2)求证:AD垂直PB;
(3)若AB=PD=2,A到平面BMD的距离。 展开
(1)设底面□ABCD对角线交点为N,连接MN
∵ABCD为平行四边形,∴N为对角线AC的中点
在△PAC中,M为PC中点,N为AC中点,∴PA∥MN
而MN∈平面BMD,∴PA∥平面BMD
(2)过中点N做EF∥AD交AB,CD于E,F
∵N为中点,∴E,F亦为对应边中点,且N为EF中点
又AB=2AD,∴有 DF=CD/2=AD=EF
∵EF∥AD,∴∠EFD=∠BCD=60°,则△DEF为等边三角形
又N为EF中点,∴DN为EF边上的高,即有EF⊥DN
∵EF∥AD,∴即有 AD⊥DN
又PD⊥底面ABCD,∴有 PD⊥AD
AD同时垂直于PD和DN,故AD⊥平面PBD
而PB∈平面PBD,∴AD⊥PB
(3)AB=PD=2,则AD=AE=1
∵PD⊥底面ABCD,∴△PAD,△PCD均为直角三角形
由勾股定理易求得 PA=√[2^2+1^2]=√5,PC=√[2^2+2^2]=2√2
又∠BCD=60°,则∠ABC=120°,由余弦定理可得
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos∠ABC
=2^2+1^2-2*2*1*cos120°
=7, ∴AC=√7
后面可用海伦公式算出△PAC的面积,
再由面积公式反算出C到PA的高,设为CH,其数值约为2.5
A到平面BMD的距离即为两平行直线PA,MN之间的距离
因M,N均为中点,故其距离为CH的一半,即约为1.25左右
即A到平面BMD的距离约为1.25左右
(PS:第3问这种算法太复杂了,应该有更简便的算法,期待。。。)
连接BD,CA交于G,连接MG
∵底面ABCD是平行四边形
∴G是CA中点
点M为PC的中点
∴MG||PA
∴PA||平面BMD
2.
∵∠BCD=60度,AB=2AD
∴BD⊥BC
∴AD⊥BD
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AD
∴AD⊥平面PDB
∴AD⊥PB
3.过D作DE⊥PA于E(图中没画出)
MG||PA
∴DE⊥MG
∵ AD⊥BD
BD⊥PD
∴BD⊥面PAD
∴BD⊥DE
∴DE⊥面BDM
A到平面BMD的距离=E到平面BMD的距离=DE
AB=PD=2
AD=1
PA=√5
DE=2*1/√5=2√5/5
A到平面BMD的距离=2√5/5
2013-03-18
∵M为PC的中点,O为AC的中点
∴在△PAC中,MC∥PA(中位线定理)
又∵MO∈面BMD
∴PA∥面BMD(直线与平面平行判定定理)
2)假设AB=2x, 则AD=x.
根据余弦定理得,cos(角BAD)=(AB^2+AD^2-BD^2)/(2*AB*AD),求得,BD=3x
∴BD=√(3)x
∴△ADB是直角三角形,且AD⊥BD
∵PD⊥面ABCD
∴BD是PB在面ABCD的投影
∴由三垂线定理,得AD⊥PB
3)
第三个暂时没有想出啊,嘿嘿ie