Question

已知数列{an }的前n项和为Sn，且a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n（n€N*）.

求数列{an}的通项公式

Answer 1

解答：
a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）sn+2n（n€N*）
（1） 先求a1：
n=1，
∴ a1=2
（2）利用递推式：
∵ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=(n-1)Sn+2n ①
∴ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1) =(n-2)S(n-1)+2(n-1) ②
①-②：
nan =(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2n
即 n[S(n)-S(n-1)]=(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2
∴ S(n)=2S(n-1)+2
∴ S(n)+2=2[S(n-1)+2]
∴ {Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴ Sn+2=4*2^n=2^(n+1)
∴ Sn=-2+2^(n+1)
∴ n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^(n)=2^n
n=1同样满足上式
∴ an=2^n

Answer 2

已知a1+2a2+3a3+……+nan=(n-1)Sn+2n......①
则 a1+2a2+3a3+……+nan+（n+1）a（n+1）=nS（n+1）+2（n+1）....②
②-①得：
（n+1）a（n+1）=nS（n+1）-nSn+Sn+2........③
又 a（n+1）=S（n+1）-Sn
∴③可变型为：
（n+1）（S（n+1）-Sn）=nS（n+1）-nSn+Sn+2
化简得：
S（n+1）=2Sn+2
等号两边同时加2， 得：
S（n+1）+2=2（Sn+2）
（ S(n+1)+2）/（Sn+2）=2
故：{Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项，2为公比的等比数列
Sn+2=4*2^(n-1)
an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^n=2^n

Answer 3

解：因为 a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n (1)
所以 a1+2a2+3a3+…+(n+1) a(n+1)=nS(n+1)+2(n+1) (2)
a1+a2+a3+...+an=Sn (3)
由（1）+（3）得到
2a1+3a2+4a3+…+(n+1)an= nSn+2n (4)
由（2）-（4）得到
-a1-a2-a3- ...-an +(n+1)a(n+1)=n[S(n+1)-Sn] +2 (5)
有因为 S(n+1)-Sn =a(n+1)
所以（5）式变成
-a1-a2-a3- ...-an +(n+1)a(n+1)=na(n+1) +2
a(n+1)= a1+a2+a3+...+an +2 （6）
根据（1）得到，当n=1时，a1=2
根据（6） 当n=2时，a2=2+2=4
a3=2+4+2=8
然后可以通过归纳法得到 an=2^n
这个就很容易证明了。