Question

a=x1/lnx1=x2/lnx2,x1<x2,求证x2-x1>alna-a

Answer 1

∵a=x1/lnx1=x2/lnx2，∴x2-x1=alnx2-alnx1=aln(x2/x1)
设f(x)=x/lnx，其定义域为（0,1）∪（1，+∞）
f'(x)=1/lnx-1/ln²x
令f'(x)>0，即1/lnx-1/ln²x>0，两边同乘以ln²x得：lnx>1，即 x>e
令f'(x)<0，即1/lnx-1/ln²x<0，两边同乘以ln²x得：lnx<1，即x∈(0,1)∪(1,e)
∴f(x)在（0,1）↓，且f(x)<0；(∴在（0,1）上不存在x不同但f(x）相同的2点）
f(x)在（1,e）↓；
f(x)在（e,+∞）↑
∴当x=e时，f(x)有在（1，+∞）的最小值f(e)=e
∴a>e
∴要满足a=f(x1)=f(x2)，且x2>x1
则1<x1<e<a<x2
∴x2/x1>a/x1，a/x1>a/e
∴x2/x1>a/e
∴ ln(x2/x1)>ln(a/e) (∵f(x)=lnx为单调递增函数)
lnx2-lnx1>lna-1
alnx2-alnx1>alna-a
∴ x2-x1>alna-a