Question

数学函数奇偶性的性质

对于复合函数F(x)=f[g(x)]，当f(x)与g(x)有至少一个是偶函数时，F(x)=f[g(x)]是偶函数，此结论的依据是什么？证明下

Answer 1

　　数学函数奇偶性的性质
　　1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数），一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。
　　2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
　　3、奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.
　　4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数.
　　若g(x）奇函数且f(x）是奇函数，则F（x）是奇函数.
　　若g(x）奇函数且f(x）是偶函数，则F（x）是偶函数.
　　5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称.

Answer 2

这个结论是错的.
例如f(x) = x²是偶函数, g(x) = x+1, 但F(x) = f(g(x)) = x²+2x+1不是偶函数.

如果g(x)是偶函数, 则F(x) = f(g(x))是偶函数.
由g(x)是偶函数, 对定义域中的x都有g(-x) = g(x).
所以F(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = F(x), 即F(x)也为偶函数.