Question

数列{an}满足a1=1.5，an+1=an²-an+1（n∈N﹢），则m=1/a1+1/a2+...+1/a2009的整数部分是？

Answer 1

∵a（n+1）=an^2-an+1
∴1/[a（n+1）-1]=1/[an^2-an]=1/[an(an-1)]=1/(an-1)-1/an
∴1/(an-1)=1/(a(n-1)-1)-1/a(n-1)…………………………（*）
…
…（如果这里看不出规律，可自己用笔再写多几个式子出来）
…
1/（a2-1）=1/(a1-1)-1/a1
上面从（*）累加下来得
1/(an-1)=1/(a1-1)-1/a1-1/a2-…-1/a(n-1)
∴1/an<1/(an-1)=1/(a1-1)-1/a1-1/a2-…-1/a(n-1)
∴1/a1+1/a2+……+1/an<1/(a1-1)=1÷0.5=2
故它的整数部分是1

Answer 2

∵a（n+1）=an^2-an+1
∴1/[a（n+1）-1]=1/[an^2-an]=1/[an(an-1)]=1/(an-1)-1/an
因此1/(an-1)=1/[a(n-1)-1]-1/a(n-1)
1 /[a(n-1)-1]=1/[a(n-2)-1]-1/a(n-2)
…
…
1/（a2-1）=1/(a1-1)-1/a1
累加得:
1/(an-1)=1/(a1-1)-[1/a1+1/a2+…+1/a(n-1)]
∴1/an<1/(an-1)=1/(a1-1)-[1/a1+1/a2+…+1/a(n-1)]
∴m=1/a1+1/a2+……+1/an<1/(a1-1)=1÷(1.5-0.5)=2
而m>1/a1+1/a2=1/1.5+1/1.75=2/3+4/7=26/21>1
故m的整数部分是1