Question

关于数列极限的证明，求详细解答和步骤

已知X1=1，Xn+1=√（1+Xn），当中n大于或等于1（X后面的数字和字母是下标）。
（1）证明Xn是有界数列。
（2）判断Xn是递增还是递减数列。
本人自学中，希望各位高手能提供详细解答和步骤，谢谢·！！！
如何利用2阶数学归纳法证明（1）

Answer 1

用数学归纳法来解

(1)
x1 =1 , x 2 = √（1+Xn）= √2
假设 x{k}满足: 1<= x{k} <2
x{k+1} = √（1+X{k} ）< √（1+2) <√4 = 2
x{k+1} = √（1+X{k} ）>√1 =1

故 xn: 1<= xn <2 成立

(2)
x2/ x1 = √2 / 1 >1
假设 x{k}/x{k-1}满足: x{k}/x{k-1}>1

X{k+1}/Xk =√(1+Xk）/√(1+X{k-1}） >√(1+X{k-1}/√(1+X{k-1} =1
故Xn是递增数列

Answer 2

（关键是找出极限，设为A(A>0)，则A=√(1+A)，A=(1+√5)/2）
(1)假设x[n]<(1+√5)/2
那么x[n+1]=√(1+x[n])<√(6+2√5)/2=(1+√5)/2
显然x[n]>1
所以1<x[n]<(1+√5)/2
(2)x[n+1]-x[n]=√(1+x[n])-x[n]=(1+x[n]-x[n]^2)/(√(1+x[n])+x[n])>0
所以x[n]单增

Answer 3

先考虑Xn是递增还是递减，X(n+1)^2-Xn^2=1+Xn-Xn^2=[(√5+1)/2-Xn][(√5-1)/2+Xn]，Xn恒正，要向判断出Xn递增或递减，需要判断(√5+1)/2与Xn的大小，由此即可得到Xn的有界的证明方法。

1、Xn＞0是显然的。X1=1，X2=√2，X3=√(1+√2)，计算一下可知X1,X2,X3都小于(√5+1)/2。所以利用归纳法，如果Xn＜(√5+1)/2，由递推公式，X(n+1)＜√(1+(√5+1)/2)=(√5+1)/2。
所以，0＜Xn＜(√5+1)/2。Xn有界。

2、X(n+1)^2-Xn^2=1+Xn-Xn^2=[(√5+1)/2-Xn][(√5-1)/2+Xn]＞0，所以X(n+1)＞Xn，Xn递增。

Answer 4

如图：