Question

已知abc是三角形abc的三边,求证(a²+b²-c²)²-4a²b²<0

Answer 1

证明：
利用作差比较和三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
∵ (a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²]*[(a-b)²-c²]
=(a+b-c)(a+b+c)*(a-b+c)*(a-b-c)
abc是三角形abc的三边
∴ a+b-c>0, a+b+c>0, a+c-b>0 a-b-c<0
∴ (a²+b²-c²)²-4a²b²<0

Answer 2

左式=[(a²+b²-c²)-2ab]*[(a²+b²-c²)+2ab]
=(a²+b²-2ab-c²)(a²+b²+2ab-c²)
=[(a-b)²-c²]*[(a+b)²-c²]
=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)
其中，唯有a-b-c<0
所以，左式<0
证毕。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 3

直接因式分解得
=(a²+b²-c²-2ab)(a²+b²-c²+2ab)
=[(a-b)²-c²][(a+b)²-c²]
=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)
根据三角形中两边之和大于第三边，则有
a-b-c=a-(b+c)<0

a-b+c=(a+c)-b>0

a+b-c>0
a+b+c>0

所以
(a²+b²-c²)²-4a²b²=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)<0
得证。