Question

若函数f(x)=(a+1)x^2+1/bx,且f(1)=3，f(2)=9/2

①求a,b的值并写出f(x)的解析式
解:f(x)的解析式是f(x)=2x^2+1/x
②求证f(x)在【1，+∞)上是增函数。
②我不会，请名师指点。
我自己解的如下：
设x1,x2∈【1，+∞),且X1<X2
Δy=f(x2)-f(x1)=2X2^2+1/X2 － (2x^1+1)/X2
=X1-X2\X1 X2
X1-X2<0，X1X2>0
怎么解错了呢？

Answer 1

先整理下问题：若函数f(x)=(a+1)x²+1/(bx),且f(1)=3，f(2)=9/2，①求a,b的值并写出f(x)的解析式；②求证f(x)在[1，+∞)上是增函数。
解：
①把f(1)=3、f(2)=9/2代入f(x)=(a+1)x²+1/(bx)有
f(1)=(a+1)1²+1/b=a+1/b+1=3
f(2)=(a+1)2²+1/(2b)=4a+1/(2b)+4=9/2
整理得
a+1/b=2
8a+1/b=1
解方程组得
a=-1/7，b=7/15
故f(x)的解析式是f(x)=(6/7)x²+15/(7x)
②证：设X1、X2∈[1，+∞)，且X1<X2则
Δy=f(X1)-f(X2)
=[(6/7)(X1)²+15/(7X1)]-[(6/7)(X2)²+15/(7X2)]
=(6/7)[(X1)²-(X2)²]-(15/7)[1/(X2)-1/(X1)]
=(6/7)(X1-X2)(X1+X2)-(15/7)(X1-X2)/(X1X2)
=(X1-X2)[(6/7)(X1+X2)-(15/7)/(X1X2)]
=(3/7)((X1-X2)[2(X1+X2)-5/(X1X2)]
此时，由于2(X1+X2)-5/(X1X2)的正负不确定，即可正、可负、可0，故f(x)在[1，+∞)上不具有单调性！
等等！晕！亲，抄错题目了吧，白做了这么长时间！如果记得不错，题目应该是：“若函数f(x)=[(a+1)x²+1]/(bx),且f(1)=3，f(2)=9/2，①求a，b的值并写出f(x)的解析式；②求证f(x)在[1，+∞)上是增函数。”
重新来！
解：
①把f(1)=3、f(2)=9/2代入f(x)=[(a+1)x²+1]/(bx)有
　f(1)=[(a+1)1²+1]/b=3
f(2)=[(a+1)2²+1]/(2b)=9/2
整理得
　a-3b=-2
4a-9b=-5
解方程组得
a=1，b=1
故f(x)的解析式是f(x)=2x+1/x
②证：设X1、X2∈[1，+∞)，且X1<X2则
Δy=f(X1)-f(X2)
=(2X1+1/X1)-(2X2+1/X2)
=2(X1-X2)-(1/X2-1/X1)
=2(X1-X2)-(X1-X2)/(X1X2)
=(X1-X2)[2-1/(X1X2)]
=(X1-X2)(2X1X2-1)/(X1X2)
由假设
X2＞X1≥1
故
X1-X2＜0，X1X2＞1＞0，2X1X2-1＞1＞0
即
Δy＜0
所以f(x)在[1，+∞)上是增函数。
ps：关于单调性证明，如果你是高二年级学过导数了，用导数知识也可以证明！如果你的题目正确，那么我的解析式是正确的，我反复验证过了，欢迎追问、交流！

追问

f(x)=2x^2+1/x
的解析式一定是它~！第一问我答对了，我们老师给我打钩了，就是第二问不对，楼主还这样说，我真不理解。

追答

　　呵，可能我不应该在这里太认真！
不过，如果从认真学习的意义上讲，不应该拒绝辩论，因为问题只会越辩越明，对知识的理解也会越变越深刻。
不知道你们老师为什么会打勾，如果解析式f(x)=2x²+1/x是对的，那么当x=2时f(x)=f(2)=2·2²+1/2=8+1/2=17/2，而已知f(2)=9/2≠17/2，怎么解释？！
可是，如果正确答案是f(x)=2x+1/x，则当x=2时f(x)=f(2)=2·2+1/2=4+1/2=9/2，与已知“f(2)=9/2”的情况相符！我的解答中发现问题后把题目作了修改，得到了符合条件f(2)=9/2的解析式f(x)=2x+1/x！

Answer 2

题目与第一问的解析不符合，看看哪一点有误.

Answer 3

算了一下，增区间应该是5/4到正无穷

Answer 4

f'(x)=4x-1/x^2 =(4x^2-1)/x^2
因为x^2恒大于0
故讨论4x^2-1的正负，
4x^2-1≥0
x^2≥ 1/4
所以
x≥1/2 或x≤-1/2
区间【1，+∞) ∈ [1/2,+∞]
所以
f(x)在【1，+∞)上是增函数。

哎呀！
您的化简错了，
（我不写具体过程了）
最终结果是
Δy=f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[2x1x2(x1+x2)-1]/(x1x2)
x2-x1>0
2x1x2>2
x1+x2>2
所以2x1x2(x1+x2)-1>0
x1x2>0
即f(x2)-f(x1)>0
所以f(x)在【1，+∞)上是增函数

追问

Δy=f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[2x1x2(x1+x2)-1]/(x1x2)
麻烦您帮我写一下具体的过程吧，我实在不会这个同分啊，理解不了你简写的过程。

追答

Δy=f(x2)-f(x1)=2x2^2+1/x2-2x1^2-1/x1
=2(x1+x2)(x1-x2)+(x1-x2)/x1x2
=[2x1x2(x1+x2)(x1-x2)+(x1-x2)]/x1x2
=(x2-x1)[2x1x2(x1+x2)-1]/(x1x2)
x2-x1>0
2x1x2>2
x1+x2>2
所以2x1x2(x1+x2)-1>0
x1x2>0
所以(x2-x1)[2x1x2(x1+x2)-1]/(x1x2)＞0
即f(x2)-f(x1)>0
所以f(x)在【1，+∞)上是增函数

追问

2x2^2+1/x2-2x1^2-1/x1
您怎么能给2x1^2-1/x1，变号了呢，不应该是2x1^2+1/x1吗？

追答

是这样的：
f(x2)-f(x1)=2x2^2+1/x2-（2x1^2+1/x1）=2x2^2+1/x2-2x1^2-1/x1