Question

若F1,F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于2b大于0)的俩个焦点,分别过F1F2作倾斜角为45度的俩条直线与椭圆

交于四点，以该四点为顶点的四边形和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积比等于2√2 /3，则该椭圆的离心率？

Answer 1

好些年没学了，不过我来试下吧。我喜欢思路，

按照常规思路,用椭圆的abc表示出两个面积，即可解决问题

显然两个四边形，一个菱形，一个平行四边形。

菱形面积s2=2a*2b/2=2ab;

至于平行四边形s1=|AB|*h   ,因为是等腰直角三角形，显然h=2c/√2=√2c,重点就求|AB|了

不知道你水平如何，设A B 点坐标，x1,y1;x2,y1;将两坐标代入椭圆并比较容易推导

|AB|=√（(x1-x2）^2+(y1-y2)^2))=√(1+k^2)|x1-x2|;只用求|x1-x2|了；显然联立即可得到：

|x1-x2|=√(（(x1+x2）^2-4x1x2)）

这样可以设直线y=kx+m,感觉不好解决，就设y=x+m;不要怕m,（(x1+x2）^2-4x1x2))肯定可消去。

于是问题解决

思路就是这样，方法是解决之道啊，剩下的靠你了

我以前的椭圆还不错，经过推导应该记住：

|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|;(条件：AB不垂直，即k存在时)

我记得常用的还有焦半径公式等，自己推导方掌握。

不懂再交流了。

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Answer 2

设过F且倾斜角是45度的一条直线方程是y=x+c.
代入到椭圆方程中有(y-c)^2/a^2+y^2/b^2=1
b^2(y^2-2cy+c^2)+a^2y^2=a^2b^2
(a^2+b^2)y^2-2b^2cy+b^2c^2-a^2b^2=0
y1+y2=2b^2c/(a^2+b^2)
y1y2=b^2(c^2-a^2)/(a^2+b^2)=-b^4/(a^2+b^2)
(y1-y2)^2=4b^4c^2/(a^2+b^2)^2+4b^4/(a^2+b^2)=(4b^4(a^2-b^2)+4b^4(a^2+b^2))/(a^2+b^2)^2=8a^2b^4/(a^2+b^2)^2
|y1-y2|=2根号2ab^2/(a^2+b^2)
故以以该四点为顶点的四边形的面积S1=F1F2*|y1-y2|=2c*2根号2ab^2/(a^2+b^2)
和以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积是S2=2ab
比等于2√2 /3，即有S1/S2=2根号2bc/(a^2+b^2)=2根号2/3
bc/(a^2+b^2)=1/3
(b^2+c^2+b^2)=3bc
2b^2-3bc+c^2=0
(2b-c)(b-c)=0
2b=c,b=c
a^2=b^2+4b^2=5b^2或a^2=b^2+b^2=2b^2,与a>2b不符合,故舍.
故有a^2=5b^2=5/4c^2
e^2=c^2/a^2=4/5
e=2根号5/5.

追问

设过F且倾斜角是45度的一条直线方程是y=x+c.,,,直线方程为什么是这个？
|y1-y2|=2根号2ab^2/(a^2+b^2)
故以以该四点为顶点的四边形的面积S1=F1F2*|y1-y2|=2c*2根号2ab^2/(a^2+b^2)。不明白