求不定积分∫x^2arcsinx/√(1-x^2)

教育小百科达人
2021-09-20 · TA获得超过156万个赞
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具体回答如下:

令t = arcsinx,dx = cost dt

I = ∫ t sin²t dt = (1/2) ∫ t (1﹣cos2t) dt

= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t + (1/4) ∫ sin2t dt

= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t ﹣ (1/8) cos2t + C 

= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx ﹣ (1/8) (1﹣2x²) + C

= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx + (1/4) x² + C

不定积分的意义:

一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

729707767
推荐于2018-03-08 · TA获得超过1.5万个赞
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换元,t = arcsinx, dx = cost dt
I = ∫ t sin²t dt = (1/2) ∫ t (1﹣cos2t) dt
= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t + (1/4) ∫ sin2t dt
= (1/4) t² ﹣(t/4)sin2t ﹣ (1/8) cos2t + C
= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx ﹣ (1/8) (1﹣2x²) + C
= (1/4)arcsin²x ﹣(1/2) x √(1-x²) arcsinx + (1/4) x² + C
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百度网友5793aa894b
2013-03-19 · TA获得超过2.4万个赞
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∫x^2arcsinx/√(1-x^2)dx
=∫(x^2-1+1)arcsinx/√(1-x^2)dx
=-∫√(1-x^2)arcsinxdx+∫arcsinx/√(1-x^2)dx
=-x√(1-x^2)arcsinx+∫xd[√(1-x^2)arcsinx]+(1/2)(arcsinx)^2
=-x√(1-x^2)arcsinx+∫xdx-∫x^2arcsinx/√(1-x^2)dx+(1/2)(arcsinx)^2
=(x^2/2)-x√(1-x^2)arcsinx-∫x^2arcsinx/√(1-x^2)dx+(1/2)(arcsinx)^2
移项除以2得:
∫x^2arcsinx/√(1-x^2)dx
=(1/4)[x^2-2x√(1-x^2)arcsinx+(arcsinx)^2]+C
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fin3574
高粉答主

2013-03-19 · 你好啊,我是fin3574,請多多指教
fin3574
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笑年1977
2013-03-19 · TA获得超过7.2万个赞
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不对,解法没对
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