这个题怎么做呢?如图(要解算的详细过程)
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求定积分【0,1】∫[f(x)/√x]dx,其中f(x)=【1,x】∫[(1/t)ln(t+1)]dt
解:【0,1】∫[f(x)/√x]dx=【0,1】2∫f(x)d(√x)=【0,1】[2(√x)f(x)-∫(√x)df(x)]
=【0,1】[2(√x)f(x)-2∫(√x)f'(x)dx]............(1)
【其中f'(x)=(1/x)ln(x+1);f(1)=【1,1】∫[(1/t)ln(t+1)]dt=0,【0,1】[2(√x)f(x)]=0】故:
接(1)=-2∫(√x)(1/x)ln(x+1)dx=-2∫(1/√x)ln(x+1)dx=-4∫ln(x+1)d(√x)
=-4[(√x)ln(x+1)-∫[(√x)/(x+1)]dx]【0,1】
=-4ln2+【0,1】4∫[(√x)/(x+1)]dx]【令√x=U,则x=u²,dx=2udu,x=0时u=0,x=1时u=1】
=-4ln2+【0,1】8∫[u²/(u²+1)]du=-4ln2+【0,1】8∫[1-1/(1+u²)]du
=-4ln2+8[u-arctanu]【0,1】=-4ln2+8[1-(π/4)]=-4ln2+8-(π/2)
解:【0,1】∫[f(x)/√x]dx=【0,1】2∫f(x)d(√x)=【0,1】[2(√x)f(x)-∫(√x)df(x)]
=【0,1】[2(√x)f(x)-2∫(√x)f'(x)dx]............(1)
【其中f'(x)=(1/x)ln(x+1);f(1)=【1,1】∫[(1/t)ln(t+1)]dt=0,【0,1】[2(√x)f(x)]=0】故:
接(1)=-2∫(√x)(1/x)ln(x+1)dx=-2∫(1/√x)ln(x+1)dx=-4∫ln(x+1)d(√x)
=-4[(√x)ln(x+1)-∫[(√x)/(x+1)]dx]【0,1】
=-4ln2+【0,1】4∫[(√x)/(x+1)]dx]【令√x=U,则x=u²,dx=2udu,x=0时u=0,x=1时u=1】
=-4ln2+【0,1】8∫[u²/(u²+1)]du=-4ln2+【0,1】8∫[1-1/(1+u²)]du
=-4ln2+8[u-arctanu]【0,1】=-4ln2+8[1-(π/4)]=-4ln2+8-(π/2)
追问
确定是对的么?
追答
肯定是对的!
纠个错:第二行最末一个等号后面的中括号写错了位置,应该写在2的后面,
即应为:【0,1】2[(√x)f(x)-∫(√x)df(x)]
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