Question

这个题怎么做呢？如图（要解算的详细过程）

Answer 1

求定积分【0，1】∫[f(x)/√x]dx，其中f(x)=【1，x】∫[(1/t)ln(t+1)]dt
解：【0，1】∫[f(x)/√x]dx=【0，1】2∫f(x)d(√x)=【0，1】[2(√x)f(x)-∫(√x)df(x)]
=【0，1】[2(√x)f(x)-2∫(√x)f'(x)dx]............(1)
【其中f'(x)=(1/x)ln(x+1)；f(1)=【1，1】∫[(1/t)ln(t+1)]dt=0，【0，1】[2(√x)f(x)]=0】故：
接(1)=-2∫(√x)(1/x)ln(x+1)dx=-2∫(1/√x)ln(x+1)dx=-4∫ln(x+1)d(√x)
=-4[(√x)ln(x+1)-∫[(√x)/(x+1)]dx]【0，1】
=-4ln2+【0，1】4∫[(√x)/(x+1)]dx]【令√x=U，则x=u²，dx=2udu，x=0时u=0，x=1时u=1】
=-4ln2+【0，1】8∫[u²/(u²+1)]du=-4ln2+【0，1】8∫[1-1/(1+u²)]du
=-4ln2+8[u-arctanu]【0，1】=-4ln2+8[1-(π/4)]=-4ln2+8-(π/2)

追问

确定是对的么？

追答

肯定是对的！
纠个错：第二行最末一个等号后面的中括号写错了位置，应该写在2的后面，
即应为：【0，1】2[(√x)f(x)-∫(√x)df(x)]