Question

一道高中数学概率分布题

甲乙两人各有5张牌，现投掷骰子，若掷出奇数点，则甲给乙一张牌，若掷出偶数点，则乙给甲一张牌，如果某个人拿到了全部牌，游戏结束，或者投掷了9次，没有人拿到全部牌，游戏也结束，设游戏次数为X，求X的分布列和数学期望

Answer 1

解：首先判断至少为 5次，5次能结束的概率为 1/2^4 =1/16 （后面的4次去第一次掷出结果一样）
然后x等于6一定没有结束的，因为如果在5次中出现了1次与4次不一样的，则至少要7次才能完，同样不会出现第8次结束。
第7次的概率是，前5次出现一次与4次不一样，且不能出现2次与其它三次不一样，否则7次不能完成。
概率为，5*(1/2^4)，另外还要第6次和第7次要和前面4次的一样。
所以概率 =5*(1/2^4)*1/4 = 5/64
剩下的要么9次完成，要么强制完成。所以概率 =1-1/16-5/64 =55/64

数学期望= 55/64 *9+ 5/64*7 +1/16 *5=550/64=8.59

追问

你好，5次和7次我也是这么想的，但是我不想用1-p(5）-p(7)求p(9)
我自己求9次的概率是分这几种情况
1.9次分出胜负19/256
2.一方赢6次，输3次，68/256
3.一方赢5次，输4次，121/256
但是结果不对，请高手指点

追答

1.9次分出胜负19/256
2.一方赢6次，输3次，68/256
3.一方赢5次，输4次，121/256
这几个计算都有问题。
能单纯计算赢6次，输3次，或者赢5次，输4次。
这里面还要扣除 6次前面连续出现，那样的情况在前5次就已经结束了。
或者赢6次都排在前面，在第7次就结束了。
所以你这样计算还有很多因数没有考虑。这样是错误的。

追问

我考虑了连续赢5次的情况，在我能想到的范围内，我都已经减去了

追答

你告诉我 68/256是怎么计算过来的。
先采纳，然后给你分析问题

Answer 2

首先，游戏次数最少5，最多9

分布列：
X P(X)
5 1/16
6 5/32
7 5/32
8 5/64
9 35/64

E(X)=5*1/16+6*5/32+7*5/32+8*5/64+9*35/64=505/64

追问

你好，我觉得不应该有偶数次啊，比如6次，一个人赢5次，又输1次，那么手里应该有5+5-1=9张牌，游戏实际上没结束呢

追答

额，你说得对。楼上那个是对的。