Question

设数列{An}n属于整数，满足a0=0，a1=2，且对一切n属于整数，有An+2=2An+1－An＋2 1.证明：数列...

设数列{An}n属于整数，满足a0=0，a1=2，且对一切n属于整数，有An+2=2An+1－An＋2 1.证明：数列{An+1－An}是等差数列。 2.求数列{An}的通项公式。

Answer 1

1.
证：
a(n+2)=2a(n+1)-an +2
a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-an +2
[a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+1)-an]=2，为定值。
a2-a1=2-0=2
数列{a(n+1)-an}是以2为首项，2为公差的等差数列。
2.
解：
a(n+1)-an=2+2(n-1)=2n
an-a(n-1)=2(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=2(n-2)
…………
a2-a1=2
累加
an-a1=2[1+2+...+(n-1)]=2n(n-1)/2=n^2 -n
an=a1+n^2-n=0+n^2-n=n^2-n
n=1时，a1=1-1=0 n=2时，a2=4-2=2，均满足通项公式。
综上，得数列{an}的通项公式为an=n^2 -n

n^2表示n的平方。

Answer 2

1. A(n+2)=2A(n+1) -An +2
A(n+2)-A(n+1)=A(n+1) -An +2
令bn=A(n+1)-An，则b(n+1)=A(n+2) -A(n+1)
代入，得
b(n+1)=bn +2
即b(n+1) -bn=2
从而{bn}是一个等差数列，b0=a1-a0=2，
所以bn=b0+(n-0)d=2n+2
即{A(n+1) -An}是公差为2的等差数列，
2. 在A(n+1)-An=2n+2中，令n=0,1,2,...，得
A1-A0=2×0+2
A2-A1=2×1+2
.............
An-A(n-1)=2×(n-1)+2，
相加，得
An-A0=n(n-1) +2n=n(n+1)
即An=n(n+1)

Answer 3

①（An+2－An+1）-（An+1－An）=（An+2）-2（An+1）+（An）=2为常数，所以数列{An+1－An}是等差数列。

②由①知数列{An+1－An}是等差数列，所以设bn=An+1－An,b0=a1-a0=2,b1=a2-a1(a2=2a1-a0+2,所以a2=6）所以b1=4,所以bn=b1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2.所以An+1－An=2n+2.利用累加法得：an-an-1=2n

an-1-an-2=2n-2
an-2-an-3=2n-4
......
a2-a1=2n-(2n-4)
所以an=2n(n-1)-(2+4+6+....+2n-4)=2n(n-1)-2(（1+n-2）n/2)=n^2 -n.

Answer 4

由题意得An+2-An+1=An+1-An+2 推得An+2-An+1-（An+1-An）=2 所以 数列{An+1－An}是等差数列
由上述结论可得A1-A0=2 公差为2 所以 数列An+1－An=2+2n
有A2-A1=4 A3-A2=6 A4-A3=8.。。。。。An-An-1=2n 全加起来
A1-A0+A2-A1+A3-A2+A4-A3+。。。。。+An-An-1=2+4+6+8+....+2n=(2+2n)n/2=An-A0=An=n*(n+1)