Question

一道关于极限的数学题

已知an=[ncos(2n)/(n^2+1)] 当n→无穷大时，如果极限存在，请解释为何其发散

Answer 1

极限为零。原式=n/(n^2+1)*cos(2n), n/(n^2+1)趋于零，而cos(2n)有界，当n趋于无穷大，原式为无穷小乘以有界函数，极限为零

Answer 2

an=[ncos(2n)/(n^2+1)]
=cos(2n)/[(n^2+1)/n]
=cos(2n)/(n+1/n)

当 n→∞ 时，分子不超过 1，分母→∞，因此极限是存在的，即 0

【问】：请解释为何其发散
【答】：就是不是有限值的常数

追问

这个极限是存在的 且等于0 其实 应该该是收敛的 对吗？

追答

对的，完全【正确】的。
搞清楚【概念】之后，就知道为什么了

追问

非常感谢  还想再问你两道题  麻烦了 

分别是第一张图的第二题和第二张图的第四题  谢谢了 

追答

不用这样节省吧？现在搞活动【择优录取】，数目越多越好的

第一张图的第二题：左和右，要分开计算的，洛比塔法则，应该已经学到了吧

当 x0 时 limf(x)=lim[(e^(4x)-2x-1)/x]
=lim[4*e^(4x)-2]=2
(a)极限不存在，因为左极限不等于右极限
(b)不是【连续】的，因为左极限不等于右极限

第二张图的第四题

an=(3n^2+4)/(n^4+8n)=(3+4/n^2)/(n^2+8/n^3)
an 与 p 级数的 p=2 同阶，而 p=2>1 是收敛的

Answer 3

极限存在，极限就一定不会发散的，只会收敛。

Answer 4

不是发散吧，极限是0
|an|=|[ncos(2n)/(n^2+1)]|≤|n|/|n^2+1|＜1/n