Question

已知函数F(x)= -sin²x+2asinx+5,当F(x)=0有实数解,求a的范围

Answer 1

因为-sin²x+2a·sinx+5=0有实数解，
令t=sinx，
则方程-t²+2a·t+5=0在[-1，1]内有解．
令g(t)=-t²+2at+5
（1）若g(t)=0在[-1,1]内恰有一解，
则g(-1)·g(1)≤0
即(-2a+4)(2a+4)≤0，解得a≤-2或a≥2
（2）若g(t)在[-1，1]内有二解，则满足四个条件：
g(-1)=-2a+4<0　　①
g(1)=2a+4<0　　②
对称轴t=a∈(-1,1)　　③
g(a)=a²+5>0　　④
此时无解．
从而　a≤-2或a≥2

追问

不是应该将a从方程中剥离出来么 然后用三角函数的有界性计算吗

追答

可以的．
-sin²x+2a·sinx+5=0
易知sinx≠0，
所以　2a=(sin²x-5)/sinx=sinx -5/sinx
令t=sinx，-1≤t≤1，t≠0
f(t)= t- 5/t
f'(t)=1+5/t²>0
从而f(t)在[-1，0)和(0,1]上都是增函数，
f(-1)=4，f(1)=-4
于是f(t)≥4或f(t)≤-4
即2a≥4或2a≤-4
a≥2或a≤-2

Answer 2

可以F(X)=0,则求得a=1/2(sinx-5/sinx)令f(x)=sinx-5/sinx令sinx=n,则n-5/n显然n=-1时取最大值n=1时最小值，分别求可知-2<=a<=2.当不能取0