Question

求解微分方程

设y*=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足y=0,x=ln2的特解

Answer 1

Answer 2

设y*=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足y=0,x=ln2的特解

解：因为y*=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解，故y=e^x满足该方程，即有：
xe^x+p(x)e^x=x，故P(x)=x(1-e^x)/e^x=x(e^(-x)-1)；代入原方程得：
xy'+x[e^(-x)-1]y=x；消去x得y'-[1-e^(-x)]y=1............(1)
先求齐次方程y'-[1-e^(-x)]y=0的通解：
分离变量得dy/y=[1-e^(-x)]dx；积分之得lny=x-∫e^(-x)dx=x+∫e^(-x)d(-x)=x+e^(-x)+lnC₁；
故得y=e^[x+e^(-x)+lnC₁]=C₁e^[x+e^(-x)]；将C₁换成x的函数u，即有y=ue^[x+e^(-x)]......(2)
将(2)对x取导数得dy/dx=e^[x+e^(-x)](du/dx)+ue^[x+e^(-x)][1-e^(-x)]...........(3)
将(2)和(3)代入(1)式得：
e^[x+e^(-x)](du/dx)+ue^[x+e^(-x)][1-e^(-x)]-[1-e^(-x)]ue^[x+e^(-x)]=1

消去同类项得e^[x+e^(-x)](du/dx)=1
分离变量得du={1/e^[x+e^(-x)]}dx；令e^(-x)=t，则-x=lnt，x=-lnt，dx=-dt/t；代入并取积分得：
u=∫(-dt/t)/e^(-lnt+t)=∫(-dt/t)/[(e^t)/t]=-∫dt/(e^t)=∫e^(-t)d(-t)=e^(-t)+C=e^[-e^(-x)]+C
代入(2)式即得通解y={e^[-e^(-x)]+C}e^[x+e^(-x)]=e^x+Ce^[x+e^(-x)].........(4)
代入初始条件：x=ln2时y=0，得0=2+Ce^[ln2+1/2)=2+2Ce^(1/2)，故C=-1/e^(1/2)
代入(4)式即得原方程的特解为y=e^x-[e^(-1/2)]e^[x+e^(-x)]=e^x{1-e^[-1/2+e^(-x)]}
此结果显然满足初始条件x=ln2时y=0.

Answer 3

解：∵y=e^x ∴y'=e^x ∵y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解 ∴x*(e^x)+p(x)*(e^x)=x =>p(x)=x*[(1-e^x)/(e^x)] ∴微分方程xy'+p(x)y=x就是微分方程xy'+x*[(1-e^x)/(e^x)]*y=x即y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1 设微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1相应的齐次微分方程为 y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=0 =>dy/dx=-[(1-e^x)/(e^x)]*y =>dy/y=-[(1-e^x)/(e^x)]*dx =>∫dy/y=∫-[(1-e^x)/(e^x)]*dx =>lnlyl=∫-[e^(-x)-1]*dx =>lnlyl=e^(-x)+x+C =>y=C*[e^(e^(-x))]*(e^x) 设微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1的通解为y=C(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x) 则y'=C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[(e^(e^(-x)))*(-e^(-x))*(e^x)+ (e^(e^(-x)))*(e^x)] =C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[e^(e^(-x))]*[(e^x)-1] 代入微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1得 C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[e^(e^(-x))]*[(e^x)-1]+[(1-e^x)/(e^x)]*C(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)=1 =>C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)=1 =>C'(x)=e^[-e^(-x)]*e^(-x) =>C(x)=∫e^[-e^(-x)]*e^(-x)dx =>C(x)=-∫e^[-e^(-x)]d(-e^(-x)) =>C(x)=-e^[-e^(-x)]+C ∴微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1的通解为y=[-e^[-e^(-x)]+C]*[e^(e^(-x))]*(e^x) 即y=-e^x+C*[e^(e^(-x))]*(e^x) 当x=ln2,y=0时 0=-2+C*(e^(1/2))*2 =>C=e^(-1/2) ∴满足条件y(ln2)=0的特解为y=-e^x+[e^(-1/2)]*[e^(e^(-x))]*(e^x)