Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N使得△AMN周长最小

如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N使得△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为A.100° B.110° C.120° D.130° 此题为2012，兰州的中考题，所以请各位不知道图的就去查一下。 还有，要的是解题过程，不是答案！【— —老师说的时候走神了……（题外话 总之！拜托各位！尽快解答！

Answer 1

如图，以BC为对称轴作A的对称点E，以CD为对称轴作A的对称点F

连接EF，与BC,CD分别交于点P,Q

则当M,N分别与交点P,Q重合时，△AMN周长最小

由对称可知，有 AM=EM, AN=FN

∴△AMN周长=AM+MN+AN=EM+MN+FN

E,F两点间直线最短，故只有当M,N分别与P,Q重合时

△AMN周长取得最小值，此最小值即为EF

由对称性可知，∠AMN=∠E+∠EAM=2∠E，

∠ANM=∠F+∠FAN=2∠F

又∠BAD=120°，∴∠E+∠F=180°-120°=60° （△AEF内角和180°）

∴∠AMN+∠ANM=2（∠E+∠F）=120°

选 C

Answer 2

如图，作 A 关于 BC、CD 的对称点（相当于分别延长 AB、AD 一倍）A1、A2，

连接 A1A2，交 BC、CD 于 M、N，这就是所求周长最短的点，

此时 ∠AMN+∠ANM = 120° 。

Answer 3

延长AB到E，使得AB=BE；延长AD到F,使得AD=DF，连接ME,FN,
由于AD=DF,DN=DN,∠ADN=∠DNF=90°可知△ADN全等于△FDN；同理△ABM全等于△EBM.
可知AM=ME，AN=FN；△AMN周长转化为EM+MN+NF，明显连接FE交BC、CD于M,N时周长最短。
由于△ABM全等于△EBM，所以∠MAE=∠E，∠AMN=∠MAE+∠E=2∠E；同理∠ANM=2∠F
△AFE中∠BAD＝120°，∠E+∠F=60°；可知∠AMN+∠ANM=2（∠E+∠F）=120°