Question

复数的问题！

有5个复数。现在将它们有所有可能的组合方式两两加起来，得到如下的两数之和的数集：{7 - 2 I, 8 + 8 I, 1 - I, 5 + 6 I, 5 + 4 I, -2 - 5 I, 2 + 2 I, -1 + 5 I, 3 + 12 I, -4 + 3 I}. 问:这5个复数是多少？

现有另外5个复数。任意挑出其中的四个加起来，得到数集：{6 + 3 I, 10 + 10 I, 3 + I, 4 + 11 I, 1 + 7 I}
这5个复数是多少？

Answer 1

1. 将10个数相加除以4即得5个数之和为6+8i(在这个总和中每个数被加4次).
用总和减去两两和, 可得三三和的数集为:
{-1+10i, -2, 5+9i, 1+2i, 1+4i, 8+13i, 4+6i, 7+3i, 3-4i, 10+5i}.

由两数和的数集中没有实部或虚部相等的数, 这5个复数的实部与虚部两两不等.
考虑实部最大的2个数之和, 一定是两数和中实部最大的, 即8+8i.
考虑实部最大的3个数之和, 一定是三数和中实部最大的, 即10+5i.
于是实部排第三的数为2-3i = (10+5i)-(8+8i).
类似可得虚部排第三的数为5+i = (8+13i)-(3+12i).
5+i的实部比实部排第三的数大, 因此是实部最大的2个数之一.
另一个数是3+7i = (8+8i)-(5+i).
类似的, 2-3i是虚部最小的2个数之一.
另一个数是-4-2i = (-2-5i)-(2-3i).
已得其中4个复数为5+i, 3+7i, 2-3i, -4-2i, 用总和6+8i减去它们的和得5i.
即这5个复数为5+i, 3+7i, 2-3i, 5i, -4-2i.

2. 同样全部相加并除以4得5个数的和为6+8i.
用总和减去4个数之和即得5个复数为5i, -4-2i, 3+7i, 2-3i, 5+i.

追问

这5个复数的实部与虚部两两不等 是什么意思？是“它们自己的实部与虚部不相等”，还是“每一个数的实部都与其他数的实部不同，每个数的虚部都与其它数的虚部不同”？

追答

这里指得是这5个数的实部两两不等, 且虚部两两不等.
其实这一句对这个解法影响不大, 只是为了保证排序的唯一性, 防止出现并列的情况.