Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x-1|，a∈R.当a=3时，解不等式f（x）≦4；当x∈（-2，1）时，f（x）＞|2x-a-1|...

已知函数f（x）=|x-a|+|x-1|，a∈R.当a=3时，解不等式f（x）≦4；当x∈（-2，1）时，f（x）＞|2x-a-1|，求a的取值范围！急求！！！

Answer 1

a=3时，f（x）=|x-a|+|x-1|=|x-3|+|x-1|={
4-2x, x<1①
2, 1≤x≤3②
2x-4,x>3③
由①，解4-2x≦4得 x≥0 则0≦x<1
由②，2<4,则1≤x≤3
由③，解2x-4≦4得 x≦4 则3<x≦4
综上所述， 0≦x≦4

f（x）=|x-a|+|x-1|＞|2x-a-1|
|x-1|＞|2x-a-1|-|x-a|
当x∈（-2，1）时，|x-1|=1-x
则|2x-a-1|-|x-a|＜1-x
1)若a≤-2,则|x-a|=x-a
|2x-a-1|＜1-x+(x-a)=1-a。
则a-1＜2x-a-1＜1-a
a<x<1
x∈（-2，1）,则a≤-2
2)若a≥1，则|x-a|=-(x-a)
|2x-a-1|＜1-x-(x-a)=1+a-2x。
则-(1+a-2x)＜2x-a-1＜1+a-2x
而-(1+a-2x) = 2x-a-1，因此上式是不可能的。一个数不能比其自身小
3)若 -2<a<1,此时(1+a)/2＞a
则|2x-a-1|-|x-a|={
1-x,x<a;①
-3x+2a+1,a≤x②
x-1,x>a+1③
由①，得 1-x＜1-x,不可能，舍
由②，得-3x+2a+1＜1-x, x＞a
由③，得 x-1＜1-x，x＜1
综上所述，a＜x＜1
则a≤ -2

Answer 2

.当a=3时
，f（x）=|x-a|+|x-1|表示点x到x轴上1和3的距离之和
则其和最小为2
0所以f（x）≦4的解集为[0,4]

当x∈（-2，1）时，f（x）＞|2x-a-1|，求a的取值范围！
解：
|x-a|+|x-1|＞2|x-（a+1）/2|
注意到a,1的中位数是(a+1)/2
表示x∈（-2，1）到x轴上1和a的距离之和要大于到这两个点中点的距离的两倍的
则x必在1和a两数之内
即1<x<a或a<x<1
而x∈（-2，1）
所以a≦-2

此题的几何意义很妙！

Answer 3

（1）已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|，a∈R，当a=3时，解不等式f(x)≤4

f(x)=|x-3|+|x-1|

情况1：x<1
此时，f(x)=-(x-3)-(x-1)=-2x+4
f(x)=-2x+4≤4，解得x≥0

情况2：1≤x≤3
此时，f(x)=-(x-3)+(x-1)=2
f(x)=2≤4恒成立

情况3：x>3
此时，f(x)=(x-3)+(x-1)=2x-4
f(x)=2x-4≤4，解得x≤4

综合以上3种情况，不等式f(x)≤4的解是0≤x≤4

（2）已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|，a∈R，当x∈(-2,1)时，f(x)>|2x-a-1|，求a的取值范围

记数轴上的点x为X，点a为A，点1为B
线段AB的中点为点(a+1)/2，记为M

于是|x-a|=|XA|，|x-1|=|XB|，|2x-a-1|=2*|x-(a+1)/2|=2|XM|

要使得|XA|+|XB|>2|XM|
就要使得X在线段AB上
即1≤x≤a，或a≤x≤1

因为-2<x<1
所以a≤-2

Answer 4

f(x)=|x-a|+|x-1|表示的几何意义为：数轴上的点到a点距离与到1的距离之和。
当a=3时，a点与1之间距离为2
∴f(x)≤4的解为：0≤x≤4
当x∈(-2,1)时，f(x)在x=1时，都能取得最小值：|1-a|
∴|1-a|＞|2x-a-1|在x∈(-2,1)上恒成立
两边平方，化简后得：(x-1)(x-a)＜0在x∈(-2,1)上恒成立
∴x∈(-2,1)包含于不等式：(x-1)(x-a)＜0的解集
∴a≤-2