Question

设函数f(x)=√x^2+1. —ax,其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调函数。。。。。...

设函数f(x)=√x^2+1. —ax,其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调函数。。。。。。求详解，谢谢

Answer 1

f(x)=√(x²+1) -ax
f'(x)=1/[2√(x²+1)]·(x²+1)'-a
=x/√(x²+1) -a
分两种情况．
（1）若f(x)在[0，+∞)上单调增，
则f'(x)≥0对于x∈[0,+∞)恒成立，
即a≤x/√(x²+1)，x∈[0,+∞)
从而　a≤[x/√(x²+1)]min=0
与条件 a>0矛盾；
（2）若f(x)在[0,+∞)上单调减，
则f'(x)≤0对于x∈[0,+∞)恒成立，
即a≥x/√(x²+1)，x∈[0,+∞)
易求得，x/√(x²+1)∈[0,1)，x∈[0,+∞)
于是a≥1

Answer 2

答案是：a>=1。
由已知，
f'(x)=[2x/2(√x^2+1)]-a
=[x/(√x^2+1)]-a
=[x-a(√x^2+1)]/(√x^2+1)
=[x+a(√x^2+1)]/[(x²-ax²-a)(√x^2+1)]
a>0,当x>0时,分子恒正。f'(x)的符号由x²-ax²-a决定。
x²-ax²-a=(1-a)x²-a

（1）若0<a<1，1-a>0, 对称轴x=a/2(1-a)是正数，最值-a为负数。
a/2(1-a)在[0，+∞)内，开口向上，最小值能取到，要想x²-ax²-a定号，只需-a>=0，解得a<=0.与a>0矛盾，舍去此情况。

（2）若a>1,1-a<0，开口向下。最大值-a<0，所以对于任意x属于[0，+∞)，x²-ax²-a<0总成立。此情况可以满足题意。因为此时f'(x)<0总成立，f(x)单调递减。
（3）若a=1，x²-ax²-a=-1<0总成立，f'(x)<0总成立，f(x)单调递减。

综上所述,a>=1时，f(x)是[0，+∞)上的单调函数，且只能是单调递减函数。

Answer 3

0<a<=1