Question

证明：当X属于（0,1)时，（1+X）In^2(1+X)<X^2

Answer 1

证明：

令f(x)=(1+x)ln²(1+x)-x², 则
f(x)在(0,1)内连续可导
f'(x)=ln²(1+x)+2ln(1+x)-2x

令g(x)=f'(x)
则g'(x)=[2ln(1+x)]/(1+x)+2/(1+x)-2=[2ln(1+x)+2-(2+2x)]/(1+x)=2[ln(1+x)-x]/(1+x)

令h(x)=ln(1+x)-x, 则
当x∈(0,1)时, h'(x)=-x/(x+1)<0
∴h(x)在(0,1)内单调递减
∴h(x)<h(0)=0
∴当x∈(0,1)时, g'(x)<0
∴g(x)在(0,1)内单调递减
∴g(x)<g(0)=0
即f'(x)＜0
∴f(x)在(0,1)内单调递减
∴f(x)＜f(0)=0
即
当x∈(0,1)时, (1+x)ln²(1+x)<x²

Answer 2

证明： 因为，x属于（0.1）
（1+X)>0, In(1+X)>0 , X>0
只需要证明 （1+X)^0.5 ln(1+x)<x
因为在x=0时，左边=0=右边.
右边的斜率=1，所以只要证明左边的斜率在（0，1）区间小于1即可
y=(1+X)^0.5 ln(1+x)
y' =1/2*1/(1+X)^0.5 ln(1+x) +(1+X)^0.5 /(1+x)
= （1/2* ln(1+x)+1）/(1+x)
有因为 ln(1+x) < x (ln(1+x)的导数为1/(1+x)< x'=1,所以在定义域内 ln(1+x) < x )
∴y' = （1/2* ln(1+x)+1）/(1+x)
<（1/2* x+1）/(1+x)
=1-x/2/(1+x) <1
所以在区间（0，1）上左边的斜率始终小于右边的斜率。在x=0是相等。
所以 左边<右边
命题得证

Answer 3

y=（1+x）ln^2(1+x)的泰勒展开式y=x^2-1/12*x^4+1/12*x^5-13/180*x^6+。。。。
当0<x<1时，y≈x^2*(1-1/12*x^2+1/12*x^3) <x^2
所以，当x属于（0,1)时，（1+x）ln^2(1+x)<x^2

Answer 4

In^2(1+X)这里描述清楚