Question

1／1+1/2十1/3十1/4…十1/n的通项公式是什么

Answer 1

由于ln（1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）
于是调和级数的前n项部分和满足
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln（1+1）+ln（1+1/2）+ln（1+1/3）+…+ln（1+1/n)
=ln2+ln（3/2）+ln（4/3）+…+ln[(n+1）/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1）/n]=ln(n+1）
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1）（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln（1+1）+ln（1+1/2）+ln（1+1/3）+…+ln（1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1）-ln(n)=ln（1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln（1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1）=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1）-ln(n+1）]
=ln(n+1）-ln(n)-1/(n+1）=ln（1+1/n)-1/(n+1）
将ln（1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故
ln（1+1/n)-1/(n+1）>1/n-1/（2n^2）-1/(n+1）=1/(n^2+n)-1/（2n^2）>0
即ln（1+1/n)-1/(n+1）>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1）+1/(n+2）+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：
lim[1/(n+1）+1/(n+2）+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

Answer 2

简单地说这个式子是没有办法求和的，也就是写不出一个通项公式，这也就是为什么高考数学喜欢考这个式子