Question

如图，抛物线y=-x²-2+3与x轴交A,B两点（点A在点B的右侧）直线l与抛物线交于A,C两点

其中C的横坐标为-2.若点G是抛物线上的动点，是否存在点G使△AGC是以AC为直角边的三角形。如果存在，求出所有满足条件点G的坐标，如不存在，说明理由

Answer 1

在Y=-X^2-2X+3中，令Y=0，得X=-3与1，
∴A(1，0)，令X=-2得Y=3，∴C(-2，3)，
过C作CD⊥X轴于D，CD=3，AD=3，
∴∠ACD=45°，
过C作CE⊥AC于C，交X轴于E，
则∠CEA=45°，∴DE=DA=3，∴E(-5，0)，
直线CE解析式：Y=X+5，
解方程组：
Y=X+5
Y=-X^2-2X+3得：
X=-1，Y=4或X=-2，Y=3，
∴G1(-1，4)。
过A作AF⊥AC于A，交Y轴于F，
∵CD=AD=3，∴∠CAO=45°，∴∠OAF=45°，
∴OF=OA=1，∴F(0，-1)，易得直线AF解析式：Y=X-1，
解方程组：
Y=X-1
Y=-X^2-2X+3
得：X=1，Y=0或X=-4，Y=-5，
∴G2(-4，-5)。