Question

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P(-1,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点（│AP│＞│BP│）,若2│BP│=√3│BP│，则A,B两点之间的距离│AB│的值是
希望给出解题过程 谢谢

Answer 1

解：分别过AB做x轴垂线 设A(b^2/4,b) B(a^2/4,a) ∵2|BP|=√3|AP|

∴由相似三角形得2(a^2/4+1)=√3(b^2/4+1) 且PBA三点共线 ∴b-0/(b^2/4+1)=a-0/(a^2/4+1)

由以上两式联立解得a=√3b/2 带回2(a^2/4+1)=√3(b^2/4+1)得b^2=8√3/3

最后运用弦长公式即可

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Answer 2

抛物线C：y^2=4x
的焦点为F(1,0),
设点A(m,n)，P(x,y),由向量AP=-2FA，得
(x-m,y-n)=-2(m-1,n),
∴x-m=-2(m-1),y-n=-2n,
∴m=2-x,n=-y.
点A在抛物线C上,
∴(-y)^2=4(2-x),即y^2=-4(x-2),为动点P的轨迹方程.
（2）设Q(q,0),则Q关于直线y=2x的对称点R(4t^2,4t)满足
QR的斜率=4t/(4t^2-q)=-1/2,8t=q-4t^2,①
QR的中点((q+4t^2)/2,2t)在直线y=2x上，即2t=q+4t^2,②
②-①，-6t=8t^2,t=0或-3/4,
代入①，q=0（舍）,或-15/4.
∴Q(-15/4，0).