Question

关于复数的问题。

z为复数，a为实常数。z^n＝a^n
求解z＝？

Answer 1

思路就是利用复数相乘就是模相乘、辐角相加。
若a^n>=0，不妨设a>=0（否则a变为-a），则z^n=a^n=a^n(cos(2kπ)+isin(2kπ)) (k∈Z)
所以z=a(cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)) (k∈Z)
若a^n<0，则a<0，z^n=a^n=(-a)^n(cos((2k+1)π)+isin((2k+1)π)) (k∈Z)
所以z=(-a)(cos((2k+1)π/n)+isin((2k+1)π/n)) (k∈Z)

Answer 2

(1)若a≥0或n是偶数，
则a^n=a^n·(cos0+isin0)，
z^n=a^n(cos0+isin0)
z=|a|·[cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)]，k=0,1,2,...,n-1
(2)若a<0且n是奇数，则
a^n=|a|^n·(cosπ+isinπ)
所以　
z=|a|·[cos(2kπ+π)/n+isin(2kπ+π)/n]，k=0,1,2,...,n-1