Question

在三角形ABC中,若tanA:tanB=a^2:b^2判断三角形ABC的形状,要有详细的过程

在三角形ABC中,若tanA:tanB=a^2:b^2判断三角形ABC的形状,要有详细的过程

Answer 1

那就要用到正弦定理和余弦定理了。
tanA：tanB=a²：b²
(sinA/cosA)/(sinB/cosB)=a²/b²
sinAcosB/(cosAsinB)=a²/b²
acosB/(bcosA)=a²/b² 这一步利用了正弦定理
cosB/cosA=a/b
[(a²+c²-b²)/(2ac)]/[(b²+c²-a²)/(2bc)]=a/b 这一步利用了余弦定理，下面的就是化简过程了。
(a²+c²-b²)/(b²+c²-a²)=a²/b²
a²(b²+c²-a²)=b²(a²+c²-b²)
a²(b²-a²+c²)+b²(b²-a²-c²)=0
(b²-a²)(a²+b²)-c²(b²-a²)=0
(a²+b²-c²)(b²-a²)=0
a²+b²-c²=0或b²-a²=0
a²+b²=c²或a=b
三角形是直角三角形或等腰三角形。

参考:
解：由正弦定理得：
a/sinA=b/sinB即a/b=sinA/sinB
因为tanA：tanB=a²：b²
所以tanA：tanB=sin²A：sin²B
即tanA*sin²B=sin²A*tanB
sinB/cosA=sinA/cosB
sinBcosB=sinAsinB
sin2B=sin2A (*)
因为0°<A<180°，0°<B<180°且0°<A+B<180°
所以0°<2A<360°，0°<2B<360°
则由（*）式可得：
2A＝2B或2A+2B=180°
解得A=B或A+B=90°
所以△ABC是等腰三角形或是直角三角形

Answer 2

tanA:tanB=(sinA/sinB)*(cosB/cosA)=(a/b)*[(a*a+c*c-b*b)/(2ac)]/[(b*b+c*c-a*a)/(2bc)]=a^2/b^2,（正切化成弦，正弦定理余弦定理各用一次）
化简得a^2*(b^2+c^2-a^2)=b^2*(b^2+c^2-a^2)
得a^2+b^2=c^2，所以是直角三角形

或者，tanA/tanB=sinA/sinB*cosB/sinA=a^2/b^2=(sinA)^2/(sinB)^2，（切化弦，正弦定理一次）
化简得cosBcosA-sinBsinA=0，所以cos(B+A)=0,（和角公式），所以A+B=90度，直角三角形
这种题的一般解法：切（tan，cot）、割（sec，csc）化弦（sin，cos），再用正余弦定理代换，一般可以成功

Answer 3

tanA:tanB=a^2:b^2=(sinA)^2:(sinB)^2
所以cosB:cosA=sinA:sinB
所以sin2A=sin2B
所以A+B=90°或A=B
即等腰或直角三角形

Answer 4

tanA:tanB=a^2:b^2=(sinA)^2:(sinB)^2
所以cosB:cosA=sinA:sinB
所以sin2A=sin2B
所以A+B=90°或A=B
即等腰或直角三角形

Answer 5

tanA:tanB=a^2:b^2
tanBsin^2A=tanAsinB^2
sinAcosB=sinBcosA
sin(A-B)=0
A=B
三角形ABC是等腰三角形