Question

已知：如图，△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D． （1）求证：BC=CD；

（2）若AD=2，DC=3，求⊙O的半径；（3）若点D关于AB的对称点为D′，试探究当点D满足什么条件时，四边形DD′BC为菱形。

Answer 1

（1）
∵∠B=90°，且OB为⊙O的半径，
∴CB切⊙O于点B
∵CD切⊙O于点D
∴BC=CD
（2）
连接OD
由（1）得：BC=CD=3．
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=2+3=5
由勾股定理得：AB=4．
∵AC切⊙O于点D，
∴AC⊥OD于点D．
∴∠ADO=∠ABC=90°．
∵∠A=∠A
∴△ADO∽△ABC
∴AD/AB=OD/BC
即，2/4=OD/3
∴OD=3/2
∴⊙O的半径为3/2
（3）
当点D为AC中点时，四边形DD′BC为菱形
∵AB经过圆心O，点D关于AB的对称点为D′，
∴过点D作DD′⊥AB，交AB于点M，交⊙O于点D′
∴DM=D′M=DD′/2，∠AMD=∠B=90°．
∴DD′∥BC．
∴△AMD∽△ABC
∴DM/BC=AD/AC=1/2
∴DM=BC/2
∴BC=DD′
∴四边形DD′BC是平行四边形．
由（1）知BC=CD
∴四边形DD′BC为菱形

Answer 2

（1）连结OD,则OD丄AC,连结OC,易证△CBO≌△CDO﹙HL﹚∴BC＝CD.（2）在Rt⊿ACB中，由勾股定理得AB＝4，再由Rt⊿AOD∽Rt⊿ACB，求得OD＝1·5。（3）当D为AC的中点时，四边形DD′BC为菱形。