Question

设抛物线y=ax^2+bx-2与x轴交于两个不同的点A(-1,0),B(m,0),与y轴交于点C，且∠ACB=90°。

（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E。若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标。
<Ps：切勿找同题黏贴！因为……都是错的吧……>

Answer 1

答：（1）依据题意知道点B应该在点A的右侧。
令x=0，得y=-2，所以点C为（0，-2），AC斜率为k1=（-2-0）/[0-（-1)]=-2
AC⊥BC，所以BC斜率k2=-1/k1=1/2
所以BC直线为：y-(-2)=k2(x-0),即：y=x/2-2
交x轴于（4,0）即为点B坐标，所以m=4
把点A和点B坐标代入抛物线方程解得a=1/2，b=-3/2
所以抛物线方程为:y=x^2/2-3x/2-2

2)点D（1，n）在抛物线上：n=1/2-3/2-2=-3，所以点D（1，-3）
把直线y=x+1与抛物线方程y=x^2/2-3x/2-2联立求得另一个交点E(6,7)
因为BD直线的斜率k3=（-3-0）/（1-4）=1，所以BD∥AE
由于三角形AEB属于钝角三角形，并且钝角不等于135°，欲使得三角形BPD与AEB相似，则P点不能在B点的右侧，只能在B点的左侧。
AE=7√2，AB=5，BD=3√2
△AEB∽△BDP时：BP:AB=BD:AE,BP:5=3:7,所以BP=15/7=4-p，所以p=13/7
故点P为（13/7,0）.
△AEB∽△BPD时：BP:AE=BD:AB,BP:7√2=3√2:5,所以BP=42/5=4-p，所以p=-22/5,故点P为（-22/5,0）.
综上所述，点P位（13/7,0）或者（-22/5,0）

Answer 2

1.可求出抛物线方程为y=1/2x^2-3/2x-2m=4
2.D(1,-3)E(6,7)A(-1,0)B(4,0)
可以得出BD//AE要使△AEB相似于△PBD必须满足PD//BE
算出P(13/7,0)
3.PBD三点坐标都知道了那么PBPDBD显然也知道了用余弦定理和正弦定理可以求出△BDP的外接圆半径等于3√106/14
如果还有什么不懂的+我百度hi详谈

Answer 3

（1）如图∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴OA*OB=OC²，
∴OB=4，∴B（4，0）
∴m=4，
代入y=ax²+bx-2解得a=1/2，b=-3/2，
∴解析式为y=1/2X²-3/2X-2

（2）易知AB²=25，BE²=53，AE²=98，DE²=125，∠BAE=45°，
若存在点P(p，0)，则PE²=(6-p)²+49，PD²=(1-p)²+9，

若∠EPD=45°，则PE/AE=PD/AB，或PD/AE=PE/AB
即PE²/AE²=PD²/AB²，或PD²/AE²=PE²/AB²
解得p的值代入DE/BE≠PE/AE，不符题意；

同理若∠EDP=45°，也不符题意；

若∠PED=45°，解得当p=-15时符合题意，
∴P（-15，0）