Question

正方形abcd的边长为3,E,F分别是AB,AC边上的点,且∠ABC=45°,将△DAE绕点D旋转90°,得到△DCM.

求证：EF=CM
当AE=1时，求EF的长。

Answer 1

1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDM=45°，
在△DEF和△DMF中，
DE=DM ∠EDF=∠MDF DF=DF ，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF；…（4分）
（2）设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB²+BF²=EF²，
即2²+（4-x)²=x²，
解得：x=5/2 ，
则EF=5/2

Answer 2

正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF=FM；
（2）当AE=1时，求EF的长．
1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDM=45°，
在△DEF和△DMF中，
DE=DM ∠EDF=∠MDF DF=DF ，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF；…（4分）
（2）设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB²+BF²=EF²，
即2²+（4-x)²=x²，
解得：x=5/2 ，
则EF=5/2