Question

微积分定积分一个题目

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Answer 1

分部积分即可

Answer 2

楼上太麻烦了
用我的分部积分更快速
d(-1/x)=(1/x^2)dx
所以原式
=∫[0,∞] sin^2 x d(-1/x)
=-sin^2 x/x |[0,∞] +∫[0,∞] (1/x) d(sin^2 x)
第一项
在x=0处 sin^2 x~x^2
一除得到x，所以=0
在x=∞，分子有界，分母趋向∞，所以也为0
所以第一项=0
=∫[0,∞] (2sinxcosx/x) dx
=∫[0,∞] sin(2x)/(2x) d(2x)
换元t=2x
=∫[0,∞] sint/t dt
=π/2

Answer 3

∫<0,+∞>[sin²x/x²]dx
=x*sin²x/x²-∫<0,+∞>xd[sin²x/x²] (分部积分)
=0-∫<0,+∞>xd[sin²x/x²] {x取(0,+∞)时，减号前面为0}
=-∫<0,+∞>x[(2x²sinxcosx-sin²x*2x)/x^4]dx
=-∫<0,+∞>(2sinxcosx/x)*dx+∫<0,+∞>(2sin²x/x²)dx
=> ∫<0,+∞>[sin²x/x²]dx
=∫<0,+∞>(2sinxcosx/x)*dx
=∫<0,+∞>(sin2x/x)*dx
=∫<0,+∞>(sint/t)*dt {令t=2x}
=π/2 {已知∫<0,+∞>(sinx/x)*dx=π/2}