Question

高三数学题，求解

设函数f（x）=a/x+xlnx,g（x）=x^3-x^2-3.
（1）如果存在x1,x2属于[0，2]，使得g（x1）-g（x2）>=M成立，求满足上述条件的最大整数M;
（2）~如果对于任意的s、t属于[1/2 ，2]，都有f（s）>=g（t）成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）首先求出 g(x) 在[0,2]上的最大与最小值：
由 g'(x)=3x²-2x=0，得极值点 x=0、x=2/3；g(0)=-3，g(2/3)=(2/3)³-(2/3)²-3=-(4/27)-3
考虑到所求点为极小值，需验算一下区间端点函数值，g(2)=2³-2²-3=-1；
∴ g(x1)-g(x2) ≥[-(4/27)-3]-(-1)=-2-4/27，∴ M=[-2-4/27]=-3；
（2）g(t)在区间[1/2,2]上的最大值为 g(2)=1；假定 f(x)=(a/x)+xlnx
若 f(s)≥g(t)成立，则 f(s)≥g(2)=1，即 (a/s)+slns≥1，∴ a≥s(1-slns)；
令 φ'(s)=1-2slns-(1/s²)=0，得：lns=(1/s)-(1/s³)；
解得： s=1（当s<1时，方程左端为负，右端为正；当 s>1 时情形相反）；
φ(1)=1*(1-1*ln1)=1，φ(1/2)=[1-(1/2)ln(1/2)]/2=1/2+(ln2)/4<1，φ(2)=2(1-2ln2)=2-4ln2<0；
max{φ(s)}=1，∴ a≥1；
{若 f(x)=a/(x+xlnx)，则 min{φ(s)}=min{s+slns}，则 a≥2+2ln2；}

Answer 2

导数第二问别费事了。高考考场上你是做不出来的。

追问

way?