Question

我对等差等比数列 求an bn通项公式或证明的问题很困惑，尤其涉及到bn=an+1-an 这种 。我想问下解题思

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(an+an+1)/2,n∈N+
1.令bn=an+1-an,证明：{bn}为等比数列
2.求{an}的通项公式
比如说这道题
1.2(an+2)=an+an+1,2(an+2)-2(an+1)=an-an+1,bn+1=-1/2*bn，故{bn}为首项为b1=a2-a1=1,公比为-1/2的等比数列
2.bn=(-1/2)^(n-1)
an=[an-(an-1)]+[(an-1)-(an-2)]+.....+(a2-a1)+a1=(bn-1)+(bn-2)+.....+b1+a1=5/3+(-1)^n*1/3*1/2^(n-2)
这最后一步求an的用的什么公式？

Answer 1

最后一步是运用了第一问的结论，这种题不要bn也能做，增加bn是为了减小难度。
因为bn=a（n+1）-an，b（n-1）=an-a（n-1）
又。 b（n-2）=a（n-1）-a（n-2）
。。。
。。。
b1=a2-a1
全部加起来
b1加到b（n-1）可以用等比数列的和来算
它等于an-a1，a1已知，所以an能表示出来。

Answer 2

求bn的前n-1项和
S = b1+b2+...+bn-1
=a2 -a1+a3-a2+...+an - an-1 = a[n] -a1=a[n] -1，而S可以用等比数列公式表示，即
S=1*((-1/2)^(n-1) -1)/(-1/2 - 1)= -2/3 * ((-1/2)^(n-1) -1)

不用我继续了吧？