Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中点p1,p2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中点p1,p2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点且线段P1P2平行与平面A1ADD1则四面体P1P2AB1的体积最大值是

Answer 1

V(P2-AB1P1)最大值为1/24

^2是平方，设AP1=x (0<x<1)，联结AD1

由于P1P2∥平面A1ADD1，且过P1P2的平面ABD1与平面A1ADD1的交线为AD1

所以P1P2∥AD1，有BP1/AB=BP2/BD1 ①

联结A1B，过P2作P2H⊥A1B于H

由于A1D1⊥平面ABB1A1，所以A1D1⊥A1B，而A1D1于P2H都在平面A1BD1上

所以A1D1∥P2H，有P2H/A1D1=BP2/BD1 ②

结合①、②，有BP1/AB=P2H/A1D1

由于AB=A1D1=1，所以P2H=BP1=AB-AP1=1-x

由于A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1∥P2H

所以P2H∥平面ABB1A1，即P2H∥平面AB1P1

所以P2H为四面体P2-AB1P1底面上的高

则V(P2-AB1P1)=P2H*S△AB1P1/3=P2H*AP1*BB1/2/3

即V(P2-AB1P1)=(1-x)*x*1/2/3=(-x^2+x)/6=(-(x-1/2)^2)/6+1/24≤1/24

等号当且仅当x=1/2时取到，在0<x<1的范围内

所以V(P2-AB1P1)最大值为1/24