Question

求满足条件p(0)=p(1)=p'(1)=0，p(2)=1的插值多项式p(x)

设p(x)=ax(x-1)(x+b)，
则 p '(x)=a(x-1)(x+b)+ax(x+b)+ax(x-1)，
所以 p '(1)=a(1+b)=0， （1）
p(2)=2a(2+b)=1， （2）
解得 b=-1，a=1/2，
为什么这样设呢？真诚求解
p(x)的通项公式是什么？p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n,
p(0)=p(1)=0 ，说明这个多项式有因子 x(x-1) ，明白，但 p '(1)=0 ，p(2)=1又各说明了什么？余自知资质一般，不求甚解，但求心里明白。。。

Answer 1

p(0)=p(1)=0 ，说明这个多项式有因子 x(x+1) ，
如果这个多项式是 2 次的，就该设 p(x)=ax(x+1) ，
但 p '(1)=0 及 p(2)=1 不会同时满足 ，
因此多项式至少是 3 次。也可以设为 p(x)=x(x+1)(ax+b) 。

追问

我又补充了点我的疑问，希望你能耐心点，让我明白 O(∩_∩)O谢谢

追答

p '(1)=0 说明多项式在 x=1 处有极值，p(2)=1 说明多项式过（2，1）。
由 p(1)=p '(1)=0 可得多项式有因子 (x-1)^2 ，
再结合 p(0)=0 ，有因子 x ，那么可直接设 p(x)=ax(x-1)^2 ，
再利用 p(2)=1 轻松求得 a=1/2 ，那么很快可得 p(x)=1/2*x(x-1)^2 。

前面那个因子说 x+1 都错了哈。。。。