Question

你好，关于2013年考研数学二中的一道极限题，不很明白，请老师指点迷津

这是解答：
为什么 lnXn +(1/Xn+1)<1 取极限后变成 lnA +(1/A) ≤1 ? 而不是 lnA +(1/A) <1 ? 这是我疑惑的地方，为什么加了“=”号

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Answer 1

其实这是极限的一个性质，不严格的保不等式性
证明也很容易的：
对于收敛数列{an}(收敛到a)，若有：an<c，c是常数，则，a≤c
因为lim an=a，根据定义
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε/2
因此有a-ε/2<an
同时，lim c=c，根据定义
对于上述ε>0，存在N2>0，当n>N2，有|c-c|<ε/2
因此有c<c+ε/2
又有an<c，即：a-ε/2<an<c<c+ε/2，也即：a<c+ε
也就是说，
对任意ε>0，都有a<c+ε，因此a≤c，也即：lim an≤c

上面证明用到一个命题：
设a,b为两个实常数，那么a≤b的充要条件为：任意ε>0，都有a<b+ε
用反证法就可以很容易证明的~~~

其实这个也不难理解，因为极限本身就有打破严格不等号的性质
例如：对于任意n>0，必有1/n > 0，但取极限之后，lim 1/n=0=lim 0=0
于是严格的不等号被打破了~~

有不懂欢迎追问

追问

哦，你能告诉我，我这样理解“极限”对不对：极限是 数列或者函数 无限接近的一个 确定的 数值，这个数值只是无限无限接近，数列或函数并不一定可以取到该值，而取到该值只是一种特殊情况。如 f(x)=1/x 的极限是0，而1/x永远取不到0；f(x)=1 的极限是1，它可以取到极限值，这只是特殊情况；就如同：f(x)在X=某值时，极限存在，但f(x)在该点可以没有定义。

追答

嗯，这样理解是无问题的~~

Answer 2

这样的问题很简单的，举个例子 1<1+1/n 两边取极限，n趋于无穷，得到1≤1才对，如果不取等号，显然是不对的。
记住 任何时候 an<bn 两边取极限后一定是 lim an ≤ lim bn

Answer 3

对于已知条件中的n,是对任一确定的n有不等于，取极限后这里的n已经不能用一个自然数来考虑了，若不明白我的意思，可以考虑这样一个极限，0.999999……=1

追问

哦，你能告诉我，我这样理解“极限”对不对：极限是 数列或者函数 无限接近的一个 确定的 数值，这个数值只是无限无限接近，数列或函数并不一定可以取到该值，而取到该值只是一种特殊情况。如 f(x)=1/x 的极限是0，而1/x永远取不到0；f(x)=1 的极限是1，它可以取到极限值，这只是特殊情况；就如同：f(x)在X=某值时，极限存在，但f(x)在该点可以没有定义。

追答

在我看来很多极限其实由量变产生了质变，就如你这到题中的等于号

Answer 4

第一问 我没做啊

但是 目测 A的极限是1 那么LNA=0+1/A 就应该小于等于1啊

考研这样的题 第二问 必须肯定一定要用到第一问的结论的