Question

各项均为正数的数列{an}中，a1=a,a2=b,且满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有am+an/(1+am)(1+an)=

ap+aq/(1+aq)(1+aq).当a=1/2,b=4/5时，试归纳出这个数列的通项公式。

Answer 1

(am+an)/【(1+am)(1+an)】=(ap+aq)/【（1+ap）(1+aq)】
所以(a1+an)/(1+a1)(1+an)=(a2+a[n-1])/(1+a2)(1+a[n-1])
带入a=0.5,b=0.8
an=(2a[n-1]+1)/(an+2)
所以数列｛1+an /1-an｝是一个等比数列
an=(3^n -1)/(3^n +1)

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参考以下:

令m=2 q=1 p=n+1
(a2+an)/[(1+a2)(1+an)]=(ap+a1)/[(1+ap)(1+a1)],
(4/5+an)/[(1+4/5)(1+an)]=(ap+1/2)/[(1+ap)(1+1/2)],
(4/5+an)/[3/5(1+an)]=(ap+1/2)/[(1+ap)/2]
(4+5an)/[3(1+an)]=(2ap+1)/(1+ap)
1/3*(4+5an)/(1+an)*2=(2ap+1)/(1+ap)*2
1/3*(9-(1-an)/(1+an))=3-(1-ap)/(1+ap)
1/3bn=bp=b(n+1)
所以bn是等比，公比是1/3
b1=1/3
bn=1/3^n=(1-an)/(1+an)
an=(3^n-1)/(3^n+1)