Question

设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（） A. ∫（0，x)f(t^2)dt B. ∫(0,x)f^2(t)dt C. ∫(0,x

设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）
A. ∫（0，x)f(t^2)dt B. ∫(0,x)f^2(t)dt C. ∫(0,x)t[f(t)-f(-t)]dt D. ∫(0,x)t[f(t)+f(-t)]dt

Answer 1

F(x)＝∫(0,x)f(x)dx的奇偶性与f(x)的关系是：f(x)的奇偶性与F(x)的奇偶性相反。
由于g(t)＝t[f(t)＋f(-t)]＝－g(－t)为奇函数，故F(x)＝∫(0,x)t[f(t)＋f(－t)]dt为偶函数。

Answer 2

原函数奇，则导函数偶；原函数偶，则导函数奇。
反过来，函数偶，积分未必奇（因为后面可以加常数）；函数奇，积分必偶(加常数也一样)。
t[f(t)+f(-t)]显然为奇。积分为偶
选D
（对定积分而言，是一样的。因为加常数也约掉。）

追问

函数偶，积分未必奇？
那么，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)
设g(x)= ∫(0,x)f(t)dt
则g(-x)= ∫(0,-x)f(t)dt= ∫(0,x)f(-u)d(-u)= ∫(0,x)f(u)d(-u)=- ∫(0,x)f(u)du=- ∫(0,x)f(t)dt=-g(x).
你如何解释？

追答

你这是定积分。
我后面不是说了吗？定积分常数是约掉的。

追问

对啊，所以你的第二句话是不是错了呢？不定积分是无穷多个，但是定积分是唯一的！

追答

所以我说原函数偶，积分未必奇，因为有无穷多个，不一定是奇函数。
但原函数奇，积分一定偶，因为这无穷多个全部都是偶函数。
后面又被充了，定积分常数可以约掉，所以对定积分而言没有这个差异。

Answer 3

奇函数的原函数式偶函数，只有选D了。