Question

级数收敛性的一道证明题

若级数anx^n的收敛半径是R1,级数bnx^n的收敛半径是R2,R2>R1,求级数(an+bn)x^n的收敛半径. 上面的黎曼和省略了,不会打-.-

Answer 1

收敛半径就是R1.

对任意x满足|x| < R1, ∑an·x^n与∑bn·x^n都是绝对收敛的, 于是∑(an+bn)x^n也绝对收敛.
其收敛域包含(-R1,R1), 故收敛半径 ≥ R1.

对任意x满足R2 > |x| > R1, 由∑bn·x^n的收敛半径为R2, 有lim{n→∞} bn·x^n = 0.
而由∑an·x^n的收敛半径为R1, 有limsup{n→∞} |an|^(1/n) = 1/R1.
于是limsup{n→∞} |an·x^n|^(1/n) > |x|/R1 > 1, n→∞时an·x^n不能收敛到0.
因此n→∞时(an+bn)·x^n不能收敛到0, ∑(an+bn)x^n不可能收敛.
故∑(an+bn)x^n的收敛半径 ≤ R1.

综合得∑(an+bn)x^n的收敛半径 = R1.

Answer 2

因为n趋向于无穷大时，lim|a(n加1)/an|等于1/R1,lim|b(n加1)/bn|等于1/R2,所以|[a(n加1)加b(n加1)]/(an加bn)|等于1/R,只要求出R等于f(R1,R2)就可啦!