Question

设y=f(x)及g(x)为[a,b]上的有界函数，证明：

Answer 1

(1) 首先f(x) ≤ sup{f(x)}, g(x) ≤ sup{g(x)}, 故f(x)+g(x) ≤ sup{f(x)+sup{g(x)}, 对任意x∈[a,b].
即sup{f(x)+sup{g(x)}是f(x)+g(x)在[a,b]上的一个上界.
而上确界是最小的上界, 有sup{f(x)+g(x)} ≤ sup{f(x)+sup{g(x)}.
(2) 直接由inf{f(x)} = -sup{-f(x)}, 用(1)的结论即得.

追问

意思对，但是太过于简洁。

追答

好吧, 我写细一点.
(1) 由上确界是一个上界, 对任意t∈[a,b], 有f(t) ≤ sup[a,b]{f(x)}, 及g(t) ≤ sup[a,b]{g(x)}.
相加得f(t)+g(t) ≤ sup[a,b]{f(x)}+sup[a,b]{g(x)}, 对任意t∈[a,b]成立.
而由上确界的定义, 对任意ε > 0, 存在t∈[a,b]使
sup[a,b]{f(x)+g(x)} < f(t)+g(t)+ε ≤ sup[a,b]{f(x)}+sup[a,b]{g(x)}+ε.
由ε可以任意小, 即得sup[a,b]{f(x)+g(x)} ≤ sup[a,b]{f(x)}+sup[a,b]{g(x)}.
(2) 就不写了.