Question

已知函数f(x)=(x-k)2e^x(1)求f(x）的单调区间，（2)求f（x)在区间【0，正无穷）上的最小值

Answer 1

(1)f(x)=(x-k)²e^x
f'(x)=2xe^x+(x-k)²e^x
=[2x+(x-k)²]e^x
e^x>0
f'(x)=[x²+2(1-k)x+k²]e^x
△=4(1-k)²-4k²=4-8k
当k>1/2时 f'(x)>0 单调增
当k<1/2时，令f'(x)=0
得 x1=(k-1)+√(1-2k) x2=(k-1)-√(1-2k)
当x<k-1-√(1-2k)或x>k-1+√(1-2k) f'(x)>0 单调增
当 k-1-√(1-2k)<x<k-1+√(1-2k) 时 f'(x)<0 单调减
(2)当k>1/2时，x=0处有最小，得f(0)=k²
当k<1/2时，

Answer 2

(1)f‘(x)=2(X-K)*e^(x/k)+(x-k)²*e^(x/k)/K
=(x²/k-k)e^(x/k)
后面e^(x/k)恒大于0的
x²/k-k=0 x=±k
①若k>0
x²/k-k>0⇒|X|>K
此时
f(X)在(-∞,-K)U(K,+∞)上是增函数
f(X)在[-K，K]上是减函数
②若k<0
x²/k-k>0⇒|X|<-K
此时
f(X)在(k，-k)上是增函数
f(X)在(-∞,K)U(-K,+∞)上是减函数
(2)k>0的时候
上面已经讨论f(X)在(-∞,-K)U(K,+∞)上是增函数
在这个区间不可能存在最大值
所以k<0
这时候
f(X)在(k，-k)上是增函数
f(X)在(-∞,K)U(-K,+∞)上是减函数
所以正数部分f(x)在-k处取得极大值
只要这个极大值都小于等于1/e，就符合题意
带入-k于原函数
f(-k)=4k²×e^(-1)≤1/e
4k²≤1⇒|k|<1/2
又k<0
所以k∈[-1/2,0)