Question

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动． （1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°； （2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

1）证明：∵b=2a，点M是AD的中点，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．
（2）解：存在，
理由：若∠BMC=90°，
则∠AMB+∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴AM∕CD=AB∕DM，
设AM=x，则x∕a=a∕b-x，
整理得：x2-bx+a2=0，
∵b＞2a，a＞0，b＞0，
∴△=b2-4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，
∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，
（3）解：不成立．
理由：若∠BMC=90°，
由（2）可知x2-bx+a2=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，
∴△=b2-4a2＜0，
∴方程没有实数根，
∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．