Question

如图,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠DAB=90°,AD=6,AB=8,∠AEB=∠DFC,点E、F分别是BD、BC的中点

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Answer 1

取AD中点G连接EG,则由中位线定理EG//1/2AB

∴EG⊥AD，△AGE≌△DGE，AE=ED=1/2BD，△AED为等腰三角形

∵BD²=AD²+BA²=100,BD=10，AE=5

图中△BDF∽△DAE，下面是证明过程

∵AD//BC，∴,∠ADB=∠DBC,且∠AEB=∠DFC，∠AED=∠DFB

 ∴ △BDF∽△DAE，△BDF也为等腰三角形，DF=BF=1/2BC

连结EF，EF⊥BD，由中位线定理  EF//1/2CD  ，BD  ⊥CD  ,△BCD为直角三角形

BC²=BD²+CD²，又DF=1/2BC，BC²=4DF²

∴4DF²=BD²+CD²

Answer 2

这个题目是考察相似的。

相似的知识一定要熟悉。
1、在直角三角形ABD中，AE=1/2BD=5
2、图中相似的三角形有三对。
△ABD∽△DCB
△ABE∽△DCF
△AED∽△DFB
3、证明△AED∽△DFB

∵AD‖BC
所以∠ADE=∠DBF
因为∠AEB=∠DFC
所以∠AED=∠DFB
所以三角形△AED∽△DFB（两个角对应相等）

4、因为△AED∽△DFB
所以AD:DE=DB:BF
又因为，DE=1/2DB,BF=1/2BC
所以AD:DB=DB:BC
又因∠ADB=∠DBF
所以△ABD∽△DCB
所以∠DAB=90°=∠BDC

所以三角形BDC为直角三角形
因为F为BC中点，所以BC=2DF

所以BC^2=(2DF)^2=BD^2+DC^2

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