Question

求数学高手解释一下！

Answer 1

泰勒展开到第二项： f(p0+v) = f(p0) + grad(f) . v + v' H v /2 + o(|v|^2)
其中grad(f)=(fx, fy)是梯度（行）向量， H是Hessian矩阵
依假设 grad(f)=0，所以只需要考察 v' H v 的性质。
因H对称，存在正交阵P，使得H对角化成 H = P' diag(h1, h2) P
所以f(p0+v) = f(p0) + (Pv)' diag(h1, h2) (Pv) / 2 + o(|v|^2)
若H正定, h1, h2 都是正数，对任意的非0的v, 令w=Pv=(w1,w2)',
w'diag(h1, h2)w = h1*w1^2+h2*w2^2 是正的，就是说，p0周围小邻域内的任意点的函数值
都比f(p0)大。
其它的情况类似讨论就行。

追问

其可对角化后如何转换到f(p0+v) = f(p0) + (Pv)' diag(h1, h2) (Pv) / 2 + o(|v|^2)？？

追答

v=（h，k）分别为x方向与y方向上的增量，那么（h，k）作为一个矩阵与p右乘，然后p^T与（h，k）左乘变得到下式。