Question

已知函数f(x)=x丨x^2-a丨,a∈R (1)当a≤0时,求证函数f(x)在(-无穷,+无穷)上是增函数 （2）当a=3时，求函f

已知函数f(x)=x丨x^2-a丨,a∈R (1)当a≤0时,求证函数f(x)在(-无穷,+无穷)上是增函数 （2）当a=3时，求函f（x）在区间[0,b](b＞0)上的最大值。

Answer 1

解:
(1)
证明:
设x1,x2∈R且x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1|x1^2-a|-x2|x2^2-a|=
=x1^3-ax1-x2^3+ax2
=(x1^3-x2^3)-a(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-a)
因为x1-x2<0
x1^2+x1x2+x2^2-a>0
所以f(x1)-f(x2)<0
所以函数f(x)在(-无穷,+无穷)上是增函数
(2)a=3
f(x)=x|x^2-3|
①当x∈[0,根号3]时
f(x)=x(3-x^2)=3x-x^3
f'(x)=3-3x^2
令f'(x)=0
x=±1
所以A.当b属于[0.1]时
最大值为
f(b)=3b-3b^3
B.当b属于(1,正无穷)时
f(x)MAX=f(1)=0
①当x∈(根号3,正无穷)时

f(x)=x(x^2-3)=x^3-3x
f'(x)=3x^2-3
f'(x)=0
x=±1
所以A.当b属于[0.1]时
最大值为
f(0)=0
B.当b属于(1,正无穷)时
f(x)MAX=f(b)=3b^3-3b

Answer 2

解：(1)∵a≤0 f(x)=x(x2-a)=x3-ax
又 f′(x)=3x2-a≥0
∴f(x)在（-∞，+∞）上为增函数

(2)
a=3时 f(x)=x^3-3x [x>=√3]
=3x-x^3 [0<x<√3]
①若0<b≤√3时，f(x)=3x-x3 由f′(x)=3-3x^2=0 得x=1
(Ⅰ)若0<b≤1时f′(x) ≥0，f(x)在[0,b]上递增，从而 f(x)max=f(b)=3b-b^3
(Ⅱ)若1<b≤√3时，0<x<1, f′(x)>0; 1<x<b, f′(x)<0 从而 f(x)max=f(1)=2
②若b>√3 由①知f(x)在[0, √3]上最大值为2，下面求f(x)在（√3,b]上的最大值
∵f′(x)=3x^2-3>0 ∴f(x)max=f(b)=b^3-3b
∴f(x)max=b^3-3b [b>=2] =2 [√3<b<2]
综上所得 f(x)max=b^3-3b [b>=2] =2 [1<b<2]
=3b-b^3 [0<b<=1]

Answer 3

1，因为 f(-x)=-x|x a| 而 f(x) = x|x-a|
当a=0时 奇函数
a≠0 为 非奇非偶函数。
2. 因为 f(x)=|x^2-ax| = |(x-a/2)^2-a^2/4|
从函数图象可以看出，图像与x轴的交点为0和a。
因此 a<=0时成立已知函数f(x)=x丨x^2-a丨,a∈R (1)当a≤0时,求证函数f(x)在(-无穷, 无穷)上是增函数 （2）当a=3时，求函f（x）在区间[0,b](b＞0)上的最大值。

Answer 4

(1)由于a<=0,故绝对值下函数恒大于等于0，可拆去绝对值，而x^3和-a*x均为增函数，故为增函数。
(2)当b<=3^(1/2)时，函数为3x-x^3,导数为3-3x^2,即在[0,1]上增，[1,3^(1/2)]减，极大值为2.
当b>3^(1/2)时，函数为x^3-3x，导数为3x^2-3恒大于0，而f(2)=2.
可得
b<=1,f(x)max=3b-b^3;
1<b<=2,f(x)max=2;
b>2;f(x)max=b^3-3b.