Question

如图，已知AB//CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP

Answer 1

∵AB//CD
∴∠BEC+∠DFE=180
∵PE平分∠BEC
∴∠PEC=∠BEC/2
∠PFE=∠DFE/2
∴∠PEC+∠PFE=90°
∴∠P=90
∴EP⊥FP

Answer 2

证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，
∴∠PEF=1/2∠BEF，∠EFP=1/2∠EFD，
∴∠PEF+∠EFP=1/2（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠P=180°-（∠PEF+∠EFP）=180°-90°=90°，
即EP⊥FP．

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Answer 3

证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵PE、PF分别平行∠BEF、∠DFE，
∴∠PEF=1/2∠BEF，∠PFE=1/2∠DFE，(角平分线定义)，
∴∠PEF+∠PFE=1/2(∠BEF+∠DFE)=90°，
∴∠P=1/0°-(∠PEF+∠PFE)=90°(三角形内角和为180°)，
∴PE⊥PF(垂线定义)。